Diagonalen im Parallelogramm < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 15.01.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | | Es ist zu zeigen, dass sich die Diagonalen im Parallelgramm gegenseitig halbieren. |
Hallo,
ich habe die oben genannte Aufgabe bekommen, hab versucht versch. vektorielle Beziehungen aufzubauen, aber die Lösung sagt so einfach:
"Bilde [mm] \vec{e}+\vec{f} [/mm] bzw. [mm] \vec{e}-\vec{f}
[/mm]
Ich hatte jetzt damit nichts anfangen können, wisst ihr Rat?
Grüße
RuffY
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 15.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Es ist zu zeigen, dass sich die Diagonalen im Parallelgramm
> gegenseitig halbieren.
> Hallo,
>
> ich habe die oben genannte Aufgabe bekommen, hab versucht
> versch. vektorielle Beziehungen aufzubauen, aber die Lösung
> sagt so einfach:
> "Bilde [mm]\vec{e}+\vec{f}[/mm] bzw. [mm]\vec{e}-\vec{f}[/mm]
> Ich hatte jetzt damit nichts anfangen können, wisst ihr
> Rat?
>
> Grüße
>
> RuffY
mache dir eine skizze!
mit den beiden "seiten"-vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] hast du für die diagonalen:
[mm] \vec{e}=\vec{a}+\vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{f}=\vec{b}-\vec{a}
[/mm]
jetzt führst du einen geschlossenen vektorzug AMB aus , M sei der schnittpunkt der diagonalen
[mm] \vec{a}+\lambda\vec{f}-\mu\vec{e}=\vec{o}
[/mm]
wenn du beachtest, dass die beiden vektoren linear unabhängig sind,
bekommst du dein wunschergebnis [mm] \lambda=\mu=\frac{1}{2} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 15.01.2008 | | Autor: | RuffY |
ich kann leider mit der letzten "Formel" nichts anfangen, heißt es [mm] \mu\vec{b} [/mm] ? Wenn ich den Vektorzug von Punkt A über Schnittpunkt M zu Punkt B ausführen soll muss es dann nicht [mm] \mu\vec{e} [/mm] sein, d.h. man geht den Weg von A über M zu B? Und dann frage ich mich noch, wie du auf das 1/2 gekommen bist, lechtet mir grad leider nicht ein! Ich danke dir für deine Bemühungen!
RuffY
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 15.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> ich kann leider mit der letzten "Formel" nichts anfangen,
> heißt es [mm]\mu\vec{b}[/mm] ? Wenn ich den Vektorzug von Punkt A
> über Schnittpunkt M zu Punkt B ausführen soll muss es dann
> nicht [mm]\mu\vec{e}[/mm] sein, d.h. man geht den Weg von A über M
> zu B? Und dann frage ich mich noch, wie du auf das 1/2
> gekommen bist, lechtet mir grad leider nicht ein! Ich danke
> dir für deine Bemühungen!
>
> RuffY
ja, das hast du richtig gesehen.
ist ein tippfehler.
ich werde es oben korrigieren.
also
[mm] \vec{a}+\lambda\cdot\vec{f}-\mu\cdot\vec{e}=\vec{o}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | RuffY |
Jetzt stellt sich die Frage noch, wie das mit der Nichtkollinearität und dem 1/2 zusammenhängt...dass wäre super, wenn du mir das näher erläutern könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 15.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Jetzt stellt sich die Frage noch, wie das mit der
> Nichtkollinearität und dem 1/2 zusammenhängt...dass wäre
> super, wenn du mir das näher erläutern könntest!
fasse die beiden vektoren zusammen.
[mm] \vec{a}\cdot(1-\lambda-\mu)+\vec{b}\cdot(\lambda-\mu)=\vec{o}
[/mm]
und was muß nun gelten, da die beiden vektoren linear unabhängig sind?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:04 Mi 16.01.2008 | | Autor: | RuffY |
...ich würde jetzt sagen, dass [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] =0 sind, wenn das richtig ist kann ich das auflösen nach:
[mm] \1-\lambda-\mu+\lambda-\mu=\vec{0}
[/mm]
[mm] 1-2\mu=\vec{0}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}=\mu
[/mm]
Sooo, ich glaube ich habs auch verstanden...also nochmal geschrieben: Wenn ich so einen Beweis durchführen will, dann gehe ich mit dem gleichsetzten mit dem Nullvektor davon aus, dass sie doch kollinear sind, richtig?
MfG
RuffY
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mi 16.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo RuffY,
> ...ich würde jetzt sagen, dass [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] =0 sind,
wenn [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] =0 wären, dann hättest du kein Parallelogramm.
Lies noch einmal die Definition der "Linearen Unabhängigkeit" nach.
Und überlege, warum [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] zwangsläufig linear unabhängig sein müssen.
> Sooo, ich glaube ich habs auch verstanden...also nochmal
ich fürchte, nicht.
> geschrieben: Wenn ich so einen Beweis durchführen will,
> dann gehe ich mit dem gleichsetzten mit dem Nullvektor
> davon aus, dass sie doch kollinear sind, richtig?
ganz verstehe ich nicht, was du meinst aber es hört sich falsch an...
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 16.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> ...ich würde jetzt sagen, dass [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] =0 sind,
> wenn das richtig ist kann ich das auflösen nach:
> [mm]\1-\lambda-\mu+\lambda-\mu=\vec{0}[/mm]
> [mm]1-2\mu=\vec{0}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}=\mu[/mm]
>
> Sooo, ich glaube ich habs auch verstanden...also nochmal
> geschrieben: Wenn ich so einen Beweis durchführen will,
> dann gehe ich mit dem gleichsetzten mit dem Nullvektor
> davon aus, dass sie doch kollinear sind, richtig?
>
> MfG
>
> RuffY
>
>
das ist allerdings ziemlicher unfug.
du solltest dir wirklich - wie schon gesagt - dringendst die definition der linearen (un) abhängigkeit durchlesen.
2 vektoren sind linear unabhängig, wenn
[mm] a_1\vec{a}_1+a_2\vec{a_2}=\vec{o} [/mm] NUR für [mm] a_1=a_2=0 [/mm] erfüllt ist.
wenn du das anwendest, bekommst du aus dem faktor von [mm] \vec{b} [/mm] : [mm] \lambda=\mu [/mm] und erst daraus [mm] \lambda=\mu=\frac{1}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 16.01.2008 | | Autor: | RuffY |
Gut, also ich habe ähnliche Definition für lineare Unabhängigkeit, wie ihr.
[mm] \lambda_{1}*\vec{a}_{1}+\lambda_{2}*\vec{a}_{2}+...+\lambda_{i}*\vec{a}_{i} [/mm] für [mm] \lambda_{i}=0
[/mm]
Sooo, also angewendet bedeutet das durch umformen:
[mm] \vec{a}\cdot(1-\lambda-\mu)+\vec{b}\cdot(\lambda-\mu)=\vec{o}
[/mm]
wenn ich jetzt die Bedingung annehme, dass [mm] \lambda=\mu [/mm] ist, dann bekomme ich
[mm] \vec{a}*(1-2\lambda)+0=\vec{o}
[/mm]
ich teile durch den Vektor a und lösen nach Lambda auf, sodass dann [mm] \lambda=\bruch{1}{2} [/mm] ist.
Ich denke, ass ich das jetzt richtig habe, bin nochmal strukturiert durchgegangen, habe parallel diese Diskussion angeschaut und habs dann auch so hinbekommen.
Kann man eigentlich eine Art "Kochrezept" zum beweisen von solchen Aussagen geben?
Grüße
Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 16.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Gut, also ich habe ähnliche Definition für lineare
> Unabhängigkeit, wie ihr.
>
> [mm]\lambda_{1}*\vec{a}_{1}+\lambda_{2}*\vec{a}_{2}+...+\lambda_{i}*\vec{a}_{i}[/mm]
> für [mm]\lambda_{i}=0[/mm]
>
> Sooo, also angewendet bedeutet das durch umformen:
>
> [mm]\vec{a}\cdot(1-\lambda-\mu)+\vec{b}\cdot(\lambda-\mu)=\vec{o}[/mm]
>
> wenn ich jetzt die Bedingung annehme, dass [mm]\lambda=\mu[/mm] ist,
> dann bekomme ich
>
> [mm]\vec{a}*(1-2\lambda)+0=\vec{o}[/mm]
>
> ich teile durch den Vektor a und lösen nach Lambda auf,
> sodass dann [mm]\lambda=\bruch{1}{2}[/mm] ist.
>
> Ich denke, ass ich das jetzt richtig habe, bin nochmal
> strukturiert durchgegangen, habe parallel diese Diskussion
> angeschaut und habs dann auch so hinbekommen.
> Kann man eigentlich eine Art "Kochrezept" zum beweisen von
> solchen Aussagen geben?
>
> Grüße
>
> Sebastian
tut mir leid, aber du verstehst es leider immer noch nicht.
du kannst nicht annehmen, was du beweisen sollst.
aber laut definition sind ALLE [mm] \lambda_i=0
[/mm]
daher hast du folgendes gls:
1) [mm] 1-\lambda-\mu=0
[/mm]
2) [mm] \lambda-\mu=0
[/mm]
erst und sofort aus 2) folgt [mm] \lambda=\mu
[/mm]
und dies nun in 1) eingesetzt liefert [mm] 1-\mu-\mu=0\to\lambda=\mu=\frac{1}{2}
[/mm]
und das rezept: ÜBEN, ÜBEN, ÜBEN.......und denken
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mi 16.01.2008 | | Autor: | RuffY |
Gut, ich denke jetzt konnte ich das Problem zumindest konkretisieren! Ich danke dir für deine Bemühungen!
Sebastian
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