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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Do 14.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Falsch oder Wahr?
Jede orthogonale Matrix ist (über [mm] \IR) [/mm] diagonalisierbar
Jede unitäre Matrix ist diagonalisierbar |
Nach dem Spektralsatz für normale Operatoren über einen unitären Vektorraum sind unitäre Matrizen diagonalisierbar.
Über einen euklidischen Vektooraum, kann man eine Matrix in Diagonalgestalt bringen wenn diese selbstadjungiert ist.( [mm] A^{\*} [/mm] =A)
Frage ist ob eine orthogonale Matrix selbstadjungiert ist?
Für eine orthogonale Matrix gilt [mm] A^{\*} [/mm] A = [mm] I_n [/mm] , also sind die selbstadjungierten Matrizen in der Menge dre orthogonalen Matrizen enthalten d.h. jede selbstadjungierte Matrix ist eine orthogonale Matrix.
Aber nicht jede orthogonale Matrix ist selbstadjungiert. Jedoch will mir dafür kein Bsp einfallen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Falsch oder Wahr?
> Jede orthogonale Matrix ist (über [mm]\IR)[/mm] diagonalisierbar
> Jede unitäre Matrix ist diagonalisierbar
> Nach dem Spektralsatz für normale Operatoren über einen
> unitären Vektorraum sind unitäre Matrizen
> diagonalisierbar.
> Über einen euklidischen Vektooraum, kann man eine Matrix
> in Diagonalgestalt bringen wenn diese selbstadjungiert
> ist.( [mm]A^{\*}[/mm] =A)
> Frage ist ob eine orthogonale Matrix selbstadjungiert ist?
> Für eine orthogonale Matrix gilt [mm]A^{\*}[/mm] A = [mm]I_n[/mm] , also
> sind die selbstadjungierten Matrizen in der Menge dre
> orthogonalen Matrizen enthalten d.h. jede selbstadjungierte
> Matrix ist eine orthogonale Matrix.
das stimmt nicht. Die Nullmatrix ist selbstadjungiert, aber nicht orthogonal.
> Aber nicht jede orthogonale Matrix ist selbstadjungiert.
> Jedoch will mir dafür kein Bsp einfallen.
A=iE
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Do 14.03.2013 | | Autor: | sissile |
Orthogonal bedeutet doch das selbe wie normal?
Sei V ein endlich dimensionaler Euklidischer oder unitärer Vektorraum. Eine lineare Abbildung [mm] \phi:V->Vwird [/mm] normal genannt, wenn
[mm] \phi^{\*} \phi [/mm] = [mm] \phi \phi^{\*}
[/mm]
Warum ist die nullmatrix nun nicht orthogoanal?
[mm] 0^{\*} [/mm] = 0
-> 0 [mm] \cdot [/mm] 0= 0 [mm] \cdot [/mm] 0
Ich verstehe das problem nicht..
> A=iE
Ist doch nicht selbstadjungiert?
[mm] A^{\*} [/mm] = - iE
Verstehe ich da etwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Orthogonal bedeutet doch das selbe wie normal?
> Sei V ein endlich dimensionaler Euklidischer oder
> unitärer Vektorraum. Eine lineare Abbildung [mm]\phi:V->Vwird[/mm]
> normal genannt, wenn
> [mm]\phi^{\*} \phi[/mm] = [mm]\phi \phi^{\*}[/mm]
>
> Warum ist die nullmatrix nun nicht orthogoanal?
> [mm]0^{\*}[/mm] = 0
> -> 0 [mm]\cdot[/mm] 0= 0 [mm]\cdot[/mm] 0
> Ich verstehe das problem nicht..
Orthogonal bedeutet: $ [mm] A^{*} [/mm] $ A = $ [mm] I_n [/mm] $
>
> > A=iE
> Ist doch nicht selbstadjungiert?
Ja, aber orthogonal.....
FRED
> [mm]A^{\*}[/mm] = - iE
>
> Verstehe ich da etwas falsch?
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