Diagonalisierbare Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | BeweisenSie, dass die reelle Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -2 \\1 & 2 & 1 \\1 & 0 & 3 }
[/mm]
diagonalisierbar ist.
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Hallo zusammen.
Da die Matrix weder symetrisch noch orthogonal ist, bin ich mit meinem Latein am ende. Quasi große schwarze Leere.
freue mich auf jede Antwort
mfg Peanut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert.
Um die Existenz einer solchen festzustellen, solltest du erst einmal die Eigenwerte der Matrix bestimmen. Diese sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynomes. Danach wählst du dir einen der Eigenwerte, nennen wir ihn [mm] $\lambda$, [/mm] und bestimmst den Eigenraum der Matrix zum Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] d.h. den Lösungsraum von [mm] $(A-\lambda [/mm] E)x=0$, wobei $A$ die betrachtete Matrix sei. Wenn du alle Eigenräume und somit auch ihre Dimensionen kennst, prüfst du, ob die Summe der Dimensionen der Eigenräume der Dimension des zu Grunde liegenden Vektorraumes, in diesem Falle 3, entspricht. Wenn ja, existiert eine Basis aus Eigenvektoren und die Matrix ist diagonalisierbar, wenn nein, so ist sie es nicht.
Dieses Verfahren funktioniert bei der dir gegebenen Matrix wunderbar.
Liebe Grüße,
Hanno
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