Diagonalisierbare abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Di 29.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei V ein endlich dimensionaler [mm] \IK- [/mm] Vektoraum und [mm] \phi: [/mm] V-> V eine dagonalisierbare lineare Abbildung. Weiters sei V = [mm] W\oplus [/mm] W' eine invariante Zerlegung. Zeige, dass dann auch die EInschränkungen [mm] \phi|_W [/mm] : W->W und [mm] \phi|_{W'} [/mm] :W'->W' diagonalisierbar sind. |
Hallo
(Das Minimalpolynom haben wir noch nicht gemacht)
V = [mm] W\oplus [/mm] W' eine invariante Zerlegung
d.h. [mm] \phi(W) \subseteq [/mm] W
[mm] \phi(W') \subseteq [/mm] W'
[mm] \phi [/mm] diagonalisierbar, dh. [mm] \exists [/mm] Basis [mm] B=(b_1,..,b_n) [/mm] so dass [mm] [\phi]_{BB} [/mm] DIagonalgestalt hat.
Ich soll zeigen, dass ich eine Basis von W bzw. W' finde, so dass [mm] \phi|_W [/mm] und [mm] \phi|_{W'} [/mm] entwickelt in der Basis Diagonalgestalt haben.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen/home/UebungSS06/LinAlgII.pdf
Lemma 3.12
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 29.05.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, der Link funktioniert nicht, bzw führt mich auf eine leere seite.
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei mir funktioniert der Link, aber Du kannst's auch ![[]](/images/popup.gif) so versuchen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 29.05.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
leider hilft mir der Beweis nicht ganz so viel weiter, da ich andere Vorrausetzungen in der Aufgabenstellung habe und mit der Beschriftung nicht zurecht komme. Ich verstehe ihn so wie im SKript leider nicht.
Kannst du mir vlt noch so einen Tipp geben wie der beweis in der Form funktioniert, wie er in meiner Aufgabstenstellung ist?
Würd mich freuen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> leider hilft mir der Beweis nicht ganz so viel weiter, da
> ich andere Vorrausetzungen in der Aufgabenstellung habe
Was ist los ? Du sollst zeigen: ist [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar und ist W ein [mm] \phi [/mm] - invarianter Unterraum, so ist auch [mm] \phi_{|W} [/mm] diagonalisierbar.
Das ist genau das, was in Lemma 3.12 steht !!
> und
> mit der Beschriftung nicht zurecht komme.
Woooow !!!
Das was Du "Beschriftung" nennst , sind Bezeichnungsweisen, die weiter vorne erklärt werden. Wer, wenn nicht Du, sollte das nachlesen ?
Ich werde einen Teufel tun, den Beweis mit Deinen "Beschriftungen" hier ganz exklusiv für Dich nochmal abtippen, damit Du es schön bequem hast.
Man glaubt es nicht.
FRED
> Ich verstehe ihn
> so wie im SKript leider nicht.
>
> Kannst du mir vlt noch so einen Tipp geben wie der beweis
> in der Form funktioniert, wie er in meiner
> Aufgabstenstellung ist?
>
> Würd mich freuen.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Di 29.05.2012 | | Autor: | sissile |
danke ist egal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke ist egal
Ohhhh.................
Das ist der Moment, indem meine Finger wieder ganz gribblig werden !
Ich bin jetzt Du, ernsthaft studierend:
zunächst stosse ich auf die "Beschriftung" [mm] V=\bigoplus_{\lambda \in K}V(\lambda).
[/mm]
Ich denke: eiei, was bedeutet das denn ? Ich recherchiere: auf Seite 4 werde ich fündig: [mm] V(\lambda)= [/mm] kern [mm] (\Phi-\lambda* id_V)
[/mm]
Wir haben also:
[mm] V=\bigoplus_{\lambda \in K} [/mm] kern [mm] (\Phi-\lambda* id_V).
[/mm]
Da fällt mir ein: jawoll, das ist gerade die Diagonalisierbarkeit von [mm] \Phi.
[/mm]
Wunderbar !
Dann kommt: zu zeigen ist: [mm] W=\bigoplus_{\lambda \in K}W(\lambda).
[/mm]
Ich schalte mein Hirn ein: na klar, wenn ich an meine Aufgabe denke, kann das nur bedeuten:
[mm] W=\bigoplus_{\lambda \in K} [/mm] kern [mm] (\Phi_{|W}-\lambda* id_W).
[/mm]
(also Diagonalisierbarkeit von [mm] \Phi_{|W}).
[/mm]
Jetzt bin ich ganz happy, denn im weiteren Beweis kommen keine "Beschriftungen" mehr, die ich nicht kenne. Und der Beweis flutscht.
So, jetzt Frage an Dich: außer mit [mm] V(\lambda) [/mm] gabs keine Probleme. [mm] V(\lambda) [/mm] kann man nachlesen, der Rest ergibt sich aus Hirn einschalten und abschreiben, und da gibst Du mit einem " danke ist egal" auf ?
Man glaubt es nicht !
FRED
>
>
|
|
|
|
