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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Wende den Test für Diagonalisierbarkeit an auf die Transformation
$U(z,w) = (z+iw, iz+w)$
von $\IC^2$.
Wenn $U$ diagonalisierbar ist, finde eine Basis $B$ von $\IC^2$, für die $U$ eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo,
ich denke, dass mein Problem der Körper der komplexen Zahlen ist. Das ist das erste mal, dass wir wirklich den Körper der reellen Zahlen verlassen, darum bitte ich euch um Hilfe.
Die erste Bedingung, damit eine Abbildung diagonalisierbar ist, ist, dass ihr charakteristisches Polynom 'splitst' (engl. "split", wie übersetzt man das am besten?). Da wir uns im Körper der komplexe Zahlen befinden, wissen wir, dass das sowieso der Fall ist. Ich berechne es aber trotzdem, weil wir es später brauchen.
Ich wähle als Basis für die Matrix $[U]_B$ $B=\{\underbrace{\vektor{1\\0}}_{b_1}, \underbrace{\vektor{0\\1}}_{b_2}\}$. Hier wende ich $U$ drauf an und erhalten:
$U(b_1) = \vektor{1\\i} = 1b_1+ib_2$
$U(b_2) = \vektor{i\\1} = ib_1+1b_2$
Also folgt:
$[U]_B = \pmat{1&i\\i&1}$.
Das charakteristische Polynom von $[U]_B$ ist:
$det(\pmat{1-\lambda&i\\i&1-\lambda} = (1-\lambda)^2-i^2=(\lambda-(1+i))(\lambda-(1-i))$
Die Eigenwerte der Matrix sind $\lambda_1 = 1-i$ und $\lambda_2 = 1+i$, beide mit algebraischer Multiplizität 1.
Um das zweite Kriterium für Diagonalisierbarkeit zu überprüfen, müssen wir schauen, ob $dim(\IC^2)-rang([U]_B - \lambda_j Id)$ gleich der algebraische Multiplizität des Eigenwertes $\lambda_j$ ist. Wir nennen $dim(\IC^2)$ $n$. Wenn ich die Dimension von $\IC^2$ über $\IC$ berechnen will, ist $dim_\IC(\IC^2) = 2$. Im Folgenden mache ich das so, wenn ich doch $dim_\IR(\IC^2)$ nehmen muss, dann würde ich mich über den Hinweis freuen (vielleicht generell gefragt: wann nehme ich den Körper der komplexen und wann den der reellen Zahlen?).
Für $\lambda_1 = 1-i$ gilt dann, dass
$rang([U]_B - (1-i) Id) = rang\pmat{i&i\\i&i}} = 1$.
Und damit
$n-1 = 1$.
Für $\lambda_2 = 1+i$ gilt entsprechend:
$rang([U]_B - (1+i) Id) = rang\pmat{-i&i\\i&-i}} = 1$.
Und damit auch
$n-1 = 1$.
$U$ ist hiernach diagonalisierbar. Wenn ich bis jetzt keine Fehler gemacht habe, dann müsste ich jetzt weitermachen, indem ich eine invertierbare Matrix $Q$ finde, für die gilt, dass $Q^{-1}AQ = \text{Diagonalmatrix}$.
Ich berechne also $E_{\lambda_1}$ und $E_{\lambda_2}$:
$E_{\lambda_1} = \{\vektor{x\\y} | \pmat{1&i\\i&1}\vektor{x\\y} = (1-i)\vektor{x\\y}\} = \{\vektor{x\\} | x+iy = (1-i)x, ix+y=(1-i)y \} = \{x\vektor{i\\-i}|x \in \IC\}$
$E_{\lambda_2} = \{\vektor{x\\y} | \pmat{1&i\\i&1}\vektor{x\\y} = (1+i)\vektor{x\\y}\} = \{\vektor{x\\} | x+iy = (1+i)x, ix+y=(1+i)y \} = \{x\vektor{1\\1}|x \in \IC\}$
Die Matrix $Q$ ist also
$Q = \pmat{{i&1\\-i&1}}$. Die Determinante von $Q$ ist 2i und demnach ist $Q$ invertierbar.
Wie gesagt, der Körper der komplexen Zahlen verunsichert mich ein wenig, darum wäre ich für Tipps, Verbesserungen und Ratschläge dankbar ;)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Do 12.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wende den Test für Diagonalisierbarkeit an auf die
> Transformation
>
> [mm]U(z,w) = (z+iw, iz+w)[/mm]
>
> von [mm]\IC^2[/mm].
>
> Wenn [mm]U[/mm] diagonalisierbar ist, finde eine Basis [mm]B[/mm] von [mm]\IC^2[/mm],
> für die [mm]U[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Hallo,
>
> ich denke, dass mein Problem der Körper der komplexen
> Zahlen ist. Das ist das erste mal, dass wir wirklich den
> Körper der reellen Zahlen verlassen, darum bitte ich euch
> um Hilfe.
>
> Die erste Bedingung, damit eine Abbildung diagonalisierbar
> ist, ist, dass ihr charakteristisches Polynom 'splitst'
> (engl. "split", wie übersetzt man das am besten?). Da wir
> uns im Körper der komplexe Zahlen befinden, wissen wir,
> dass das sowieso der Fall ist. Ich berechne es aber
> trotzdem, weil wir es später brauchen.
>
> Ich wähle als Basis für die Matrix [mm][U]_B[/mm]
> [mm]B=\{\underbrace{\vektor{1\\0}}_{b_1}, \underbrace{\vektor{0\\1}}_{b_2}\}[/mm].
> Hier wende ich [mm]U[/mm] drauf an und erhalten:
>
> [mm]U(b_1) = \vektor{1\\i} = 1b_1+ib_2[/mm]
> [mm]U(b_2) = \vektor{i\\1} = ib_1+1b_2[/mm]
>
> Also folgt:
>
> [mm][U]_B = \pmat{1&i\\i&1}[/mm].
>
> Das charakteristische Polynom von [mm][U]_B[/mm] ist:
>
> [mm]det(\pmat{1-\lambda&i\\i&1-\lambda} = (1-\lambda)^2-i^2=(\lambda-(1+i))(\lambda-(1-i))[/mm]
>
> Die Eigenwerte der Matrix sind [mm]\lambda_1 = 1-i[/mm] und
> [mm]\lambda_2 = 1+i[/mm], beide mit algebraischer Multiplizität 1.
>
> Um das zweite Kriterium für Diagonalisierbarkeit zu
> überprüfen, müssen wir schauen, ob [mm]dim(\IC^2)-rang([U]_B - \lambda_j Id)[/mm]
> gleich der algebraische Multiplizität des Eigenwertes
> [mm]\lambda_j[/mm] ist. Wir nennen [mm]dim(\IC^2)[/mm] [mm]n[/mm]. Wenn ich die
> Dimension von [mm]\IC^2[/mm] über [mm]\IC[/mm] berechnen will, ist
> [mm]dim_\IC(\IC^2) = 2[/mm]. Im Folgenden mache ich das so, wenn ich
> doch [mm]dim_\IR(\IC^2)[/mm] nehmen muss, dann würde ich mich über
> den Hinweis freuen (vielleicht generell gefragt: wann nehme
> ich den Körper der komplexen und wann den der reellen
> Zahlen?).
>
> Für [mm]\lambda_1 = 1-i[/mm] gilt dann, dass
>
> [mm]rang([U]_B - (1-i) Id) = rang\pmat{i&i\\i&i}} = 1[/mm].
>
> Und damit
>
> [mm]n-1 = 1[/mm].
>
> Für [mm]\lambda_2 = 1+i[/mm] gilt entsprechend:
>
> [mm]rang([U]_B - (1+i) Id) = rang\pmat{-i&i\\i&-i}} = 1[/mm].
>
> Und damit auch
>
> [mm]n-1 = 1[/mm].
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> [mm]U[/mm] ist hiernach diagonalisierbar. Wenn ich bis jetzt keine
> Fehler gemacht habe, dann müsste ich jetzt weitermachen,
> indem ich eine invertierbare Matrix [mm]Q[/mm] finde, für die gilt,
> dass [mm]Q^{-1}AQ = \text{Diagonalmatrix}[/mm].
>
> Ich berechne also [mm]E_{\lambda_1}[/mm] und [mm]E_{\lambda_2}[/mm]:
>
> [mm]E_{\lambda_1} = \{\vektor{x\\y} | \pmat{1&i\\i&1}\vektor{x\\y} = (1-i)\vektor{x\\y}\} = \{\vektor{x\\} | x+iy = (1-i)x, ix+y=(1-i)y \} = \{x\vektor{i\\-i}|x \in \IC\}[/mm]
>
> [mm]E_{\lambda_2} = \{\vektor{x\\y} | \pmat{1&i\\i&1}\vektor{x\\y} = (1+i)\vektor{x\\y}\} = \{\vektor{x\\} | x+iy = (1+i)x, ix+y=(1+i)y \} = \{x\vektor{1\\1}|x \in \IC\}[/mm]
>
> Die Matrix [mm]Q[/mm] ist also
>
> [mm]Q = \pmat{{i&1\\-i&1}}[/mm]. Die Determinante von [mm]Q[/mm] ist 2i und
> demnach ist [mm]Q[/mm] invertierbar.
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> Wie gesagt, der Körper der komplexen Zahlen verunsichert
> mich ein wenig, darum wäre ich für Tipps, Verbesserungen
> und Ratschläge dankbar ;)
Du hast alles richtig gemacht.
fred
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
> > Um das zweite Kriterium für Diagonalisierbarkeit zu
> > überprüfen, müssen wir schauen, ob [mm]dim(\IC^2)-rang([U]_B - \lambda_j Id)[/mm]
> > gleich der algebraische Multiplizität des Eigenwertes
> > [mm]\lambda_j[/mm] ist. Wir nennen [mm]dim(\IC^2)[/mm] [mm]n[/mm]. Wenn ich die
> > Dimension von [mm]\IC^2[/mm] über [mm]\IC[/mm] berechnen will, ist
> > [mm]dim_\IC(\IC^2) = 2[/mm]. Im Folgenden mache ich das so, wenn ich
> > doch [mm]dim_\IR(\IC^2)[/mm] nehmen muss, dann würde ich mich über
> > den Hinweis freuen (vielleicht generell gefragt: wann nehme
> > ich den Körper der komplexen und wann den der reellen
> > Zahlen?).
> >
[...]
>
> Du hast alles richtig gemacht.
>
> fred
> >
> > Liebe Grüße.
> >
>
Prima, danke :) Nur noch eine Frage: Wenn ich über dem Körper der komplexen Zahlen arbeite, woher weiß ich, ob ich [mm] $dim_\IR$ [/mm] oder [mm] $dim_\IC$ [/mm] berechnen muss? Die Frage habe ich oben schon in Klammern gestellt.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 16.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > Um das zweite Kriterium für Diagonalisierbarkeit zu
> > > überprüfen, müssen wir schauen, ob [mm]dim(\IC^2)-rang([U]_B - \lambda_j Id)[/mm]
> > > gleich der algebraische Multiplizität des Eigenwertes
> > > [mm]\lambda_j[/mm] ist. Wir nennen [mm]dim(\IC^2)[/mm] [mm]n[/mm]. Wenn ich die
> > > Dimension von [mm]\IC^2[/mm] über [mm]\IC[/mm] berechnen will, ist
> > > [mm]dim_\IC(\IC^2) = 2[/mm]. Im Folgenden mache ich das so, wenn ich
> > > doch [mm]dim_\IR(\IC^2)[/mm] nehmen muss, dann würde ich mich über
> > > den Hinweis freuen (vielleicht generell gefragt: wann nehme
> > > ich den Körper der komplexen und wann den der reellen
> > > Zahlen?).
> > >
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> [...]
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> >
> > Du hast alles richtig gemacht.
> >
> > fred
> > >
> > > Liebe Grüße.
> > >
> >
>
> Prima, danke :) Nur noch eine Frage: Wenn ich über dem
> Körper der komplexen Zahlen arbeite, woher weiß ich, ob
> ich [mm]dim_\IR[/mm] oder [mm]dim_\IC[/mm] berechnen muss?
[mm]dim_\IC[/mm] natürlich !
FRED
> Die Frage habe ich
> oben schon in Klammern gestellt.
>
> Liebe Grüße.
>
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