Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 19.01.2006 | | Autor: | mausi |
Hallo
wie kann ich feststellen ob eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn ich z.Bsp eine 2 X 2 Matrix habe und nur ein Eigenwert???
danke für Eure Hilfe
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Hallo!
> Hallo
> wie kann ich feststellen ob eine Matrix diagonalisierbar
> ist, wenn ich z.Bsp eine 2 X 2 Matrix habe und nur ein
> Eigenwert???
>
> danke für Eure Hilfe
Wenn ich mich recht erinnere, dann ist eine Matrix dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom entweder in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt oder wenn die Dimension des Eigenraums der Vielfachheit entspricht.
Evtl. reicht es bei einer [mm] $2\times2$-Matrix, [/mm] eine Zeileumformung zu machen und dann zu sehen, ob eine Diagonalmatrix rauskommt. (das würde aber wohl nicht als Beweis gelten...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Do 19.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> wie kann ich feststellen ob eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn ich z.Bsp eine 2 X 2 Matrix habe und nur ein Eigenwert???
Sei $M$ die besagte Matrix und [mm] $\lambda$ [/mm] ihr einziger Eigenwert. Dann musst du die Dimension des Eigenraumes [mm] $\{v\in V|Mv=\lambda v\}$ [/mm] bestimmen und prüfen, ob sie kleiner als 2 ist oder nicht. In ersterem Falle ist die Matrix nicht diagonalisierbar, in letzterem schon (denn dann kannst du eine Basis aus Eigenvektoren des besagten Eigenraumes auswählen, bzgl. welcher die Matrix dann Diagonalgestalt annimmt). Die Dimension des Eigenraumes entspricht der Dimension des Lösungsraumes des Gleichungssystemes [mm] $Mv=\lambda v\gdw (M-\lambda [/mm] E)v=0$, sprich der Dimension des Kernes von [mm] $M-\lambda [/mm] E$. Diesen kannst du bestimmen, indem du den Rang von [mm] $M-\lambda [/mm] E$ bestimmt (was genau der Dimension des Bildes von [mm] $M-\lambda [/mm] E$ entspricht) und diesen von $2$ abziehst. In diesem Falle wird dies besonders einfach, denn wenn der Eigenraum tatsächlich die Dimension 2 haben sollte, dann wäre [mm] $f(v)=\lambda [/mm] v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$, sprich es wäre [mm] $M=\lambda [/mm] E$; das kannst du sofort durch einen Blick auf die Matrix prüfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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