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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Sei [mm] \varphi \in End_K(V) [/mm] ein Endomorphismus eines Vektorraumes V von endlicher Dimension. Zeige die folgende Äquivalenz:
[mm] \varphi [/mm] ist diagonalisierbar [mm] \gdw MinPol(\varphi,t) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i) [/mm] mit [mm] \lambda_i \not= \lambda_j [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] |
Hallo alle zusammen,
[mm] \varphi [/mm] ist diag'bar [mm] \gdw \produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i) [/mm] das bedeutet doch, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, das ist klar, weil das char. Polynom mit Hilfe einer Basis aus Eigenvektoren berechnet werden kann und [mm] det\begin{pmatrix}\lambda_1-t&...&0\\&....&\\0&...&\lambda_r-t\end{pmatrix}=(\lambda_1-t)(\lambda_2-t)...(\lambda_r-t)= \produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i). [/mm]
Wie mach ich jetzt weiter?
Kann mir jemand helfen?
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> Sei [mm]\varphi \in End_K(V)[/mm] ein Endomorphismus eines
> Vektorraumes V von endlicher Dimension. Zeige die folgende
> Äquivalenz:
> [mm]\varphi[/mm] ist diagonalisierbar [mm]\gdw MinPol(\varphi,t)[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i)[/mm] mit [mm]\lambda_i \not= \lambda_j[/mm]
> für [mm]i\not=j[/mm]
> dass das charakteristische Polynom in
> Linearfaktoren zerfällt,
Hallo,
wenn f diagonalisierbar ist, zerfällt das charakteristische Poynom in Linearfaktoren, das ist richtig.
> [mm]det\begin{pmatrix}\lambda_1-t&...&0\\&....&\\0&...&\lambda_r-t\end{pmatrix}=(\lambda_1-t)(\lambda_2-t)...(\lambda_r-t)= \produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i).[/mm]
Du übersiehst hierbei ein Problem, es könnten ja auch Eigenwerte mehrfach vorkommen, deshalb ist das r, welches Du hier verwendest, ein anderes als im Aufgabentext. In dem Polynom im Aufgabentxt kommen die verschiedenenEigenwerte vor.
Wenn r die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte ist, sieht das charakteristische Polynom der Funktion also so aus:
[mm] X_{\phi}(t)=\produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i)^{k_r}.
[/mm]
> Wie mach ich jetzt weiter?
nun kannst Du Dir erstmal überlegen, daß [mm] m_{\phi}(t)=\produkt_{i=1}^{r}(t-\lambda_i) [/mm] das charakteristische Polynom teilt.
Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß [mm] m_{\phi}(\phi)=0 [/mm] bzw. [mm] m_{\phi}(A_{\phi})=0, [/mm] hast Du gezeigt, daß [mm] m_{\phi} [/mm] das Minimalpolynom iist, und die Hin-Richtung ist fertig.
Für die Rückrichtung mußt Du wohl den Zerlegungssatz nehmen und schließlich zeigen, daß V die direkte Summe der Eigenräume zu den verschiedenen Eigenwerten ist.
Gruß v. Angela
> Kann mir jemand helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 29.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey Angela danke für die Antwort,
> Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß [mm]m_{\phi}(\phi)=0[/mm] bzw.
> [mm]m_{\phi}(A_{\phi})=0,[/mm] hast Du gezeigt, daß [mm]m_{\phi}[/mm] das
[mm] m_\varphi(\varphi)= \produkt_{i=1}^{r}(\varphi-\lambda_i) [/mm] soll =0 sein
so und nun gehts nicht mehr weiter. Im Skript hab ich so einen Beweis gefunden, leider besteht er aus 2 Zeilen und versteh nicht was da gemacht wurde.
Ich muss wohl mit einer Basis [mm] B={v_1,...,v_n} [/mm] arbeiten und irgendwann [mm] m_\varphi(\varphi) [/mm] auf [mm] v_i [/mm] anwenden ...
Leider kann ich nicht viel damit anfangen könnte mir da noch jemand helfen?
> Minimalpolynom iist, und die Hin-Richtung ist fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 29.04.2007 | | Autor: | feri |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe und zwar:
sollte man r als dim(V) annehmen??denn für die Rückrichtung , wenn r<dim(V) wäre, dann kann man nicht mehr weiter machen, oder irre ich mich?
Schöne Grüße,
feri
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Hallo,
"was ist r" fragst Du in Deiner Überschrift:
r ist die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte, und die kann kleiner sein als dimV.
Beachte, daß das zur Debatte stehende Polynom nicht das charakteristische Polynom ist.
Gruß v. Angela
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> > Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß [mm]m_{\phi}(\phi)=0[/mm] bzw.
> > [mm]m_{\phi}(A_{\phi})=0,[/mm] hast Du gezeigt, daß [mm]m_{\phi}[/mm] das
>
> [mm]m_\varphi(\varphi)= \produkt_{i=1}^{r}(\varphi-\lambda_i)[/mm]
> soll =0 sein
> so und nun gehts nicht mehr weiter. Im Skript hab ich so
> einen Beweis gefunden, leider besteht er aus 2 Zeilen und
> versteh nicht was da gemacht wurde.
> Ich muss wohl mit einer Basis [mm]B={v_1,...,v_n}[/mm] arbeiten und
> irgendwann [mm]m_\varphi(\varphi)[/mm] auf [mm]v_i[/mm] anwenden ...
Hallo,
schade, daß Du den Satz mit Beweis hier nicht hinschreibst - wo es doch nur 2 Zeilen sind!
Paßt der Inhalt des Satzes? Wenn er im Skript steht, kannst Du ihn doch verwenden, ohne ihn erneut zu beweisen.
Ansonsten: wenn [mm] \varphi [/mm] diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis, bezüglich derer die darstellende Matrix A eine Diagonalmatrix ist.
Diese Matrix mußt Du nun in [mm] m_{\varphi} [/mm] einsetzen und ausrechnen.
Das allgemein zu machen ist mir im Moment zu wurschtelig wegen Indices usw.
Aber ich mache Dir das an einem Beispiel vor.
Sei die darstellende Matrix A:= [mm] \pmat{ 1 & 0&0&0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0&0 \\0 & 0&2&0&0&0 \\0 & 0&0&3&0&0 \\0 & 0&0&0&3&0 \\0 & 0&0&0&0&3 }
[/mm]
Dann ist [mm] m{\varphi}(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
[/mm]
und [mm] m{\varphi}(A)=(A-1E)(A-2E)(A-3E)=\pmat{ 0 & 0&0&0&0&0 \\ 0 & 1&0&0&0&0 \\0 & 0&1&0&0&0 \\0 & 0&0&2&0&0 \\0 & 0&0&0&2&0 \\0 & 0&0&0&0&2 }\pmat{ -1 & 0&0&0&0&0 \\ 0 & 0&0&0&0&0 \\0 & 0&0&0&0&0 \\0 & 0&0&1&0&0 \\0 & 0&0&0&1&0 \\0 & 0&0&0&0&1 }\pmat{ -2 & 0&0&0&0&0 \\ 0 & -1&0&0&0&0 \\0 & 0&-1&0&0&0 \\0 & 0&0&0&0&0 \\0 & 0&0&0&0&0 \\0 & 0&0&0&0&0 }=...
[/mm]
Hast Du Dir überlegt, warum [mm] m_{\varphi} [/mm] das Minimalpolynom teilt?
Weißt Du warum Du nun mit [mm] m_{varphi}(A_{varphi}) [/mm] schließen kannst, daß [mm] m_{varphi} [/mm] das Minimalpolynom ist?
Gruß v. Angela
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