Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:19 Di 23.11.2004 | | Autor: | Guerk |
Hallo,
ich habe im "Lehrbuch der Mathematik" folgende Aufgabe gefunden, die ich nicht lösen kann:
Sei V ein [mm]\IC-[/mm]Vektorraum, [mm]f:V\to V[/mm] ein Endomorphismus, für den es ein positives [mm]m\in\IN[/mm] gibt mit [mm]f^m=id[/mm]. Dann ist f diagonalisierbar.
Ich habe versucht zu zeigen, dass, falls ein [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]f^2[/mm] ist, [mm]\pm\wurzel{\lambda}[/mm] auch ein Eigenwert von f ist, bin mir aber nicht sicher, ob das gilt. Daraus könnte man die Behauptung meiner Meinung nach folgern, indem man das auf allgemeine [mm] f^m [/mm] mit Einheitswurzeln verallgemeinert und dann zeigt, dass man auf diese Weise alle Eigenwerte von f bekommt.
Da ich aber fürchte, dass letzeres nicht gilt, bin ich auch für andere Beweisideen sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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