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Hallo ,
ich rechne gerade verschiedene Aufgaben zum Thema Eigenwerte / Eigenvektoren. Die Berechnung klappt auch ganz gut. Oft steht bei den Aufgaben am Ende immer noch eine kleine Zusatzfrage zur Diagonalisierbarkeit der Matrix für welche man die Eigenwerte / Eigenvektoren bestimmt hat.
In der Musterlösungen wird die Aufgabe mit einem einzigen Satz gelöst:
"Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes x ist echt größer als die geometrische Vielfachheit, und daher ist A nicht diagonalisierbar"
oder
"Da die Dimension übereinstimmt mit der Vielfachheit der entsprechenden Nullstellen des charakteristischen Polynoms, ist die Matrix diagonalisierbar".
Leider verstehe ich überhaupt nicht was mir diese beiden Sätze sagen wollen.
Man kann ja nun scheinbar, wenn man die Eigenwerte / Eigenvektoren berechnet hat, relativ schnell ohne weitere Rechenschritte erkennen ob eine Matrix diagonalisierbar ist oder nicht. Nur leider kann ich das nicht.
Kann mir jemand helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Grüße!
Nun, ich weiß nicht, was ihr in der Vorlesung dazu gemacht habt...
...aber zunächst zu den Begriffen:
Ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert eines Endomorphismus $f$, so nennt man die Dimension des Eigenraumes die "geometrische Vielfachheit" des Eigenwertes, also man schaut sich [mm] $\dim [/mm] E(f, [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \dim \{ v \in V : f(v) = \lambda v \}$ [/mm] an.
Die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit der Nullstelle [mm] $\lambda$ [/mm] im charakteristischen Polynom [mm] $\chi_f$ [/mm] des Endomorphismus.
Der alles entscheidende Satz lautet:
$f$ ist diagonalisierbar [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] Die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes stimmt mit der algebraischen Vielfachheit überein.
Die algebraische Vielfachheit ist stets größer oder gleich der geometrischen Vielfachheit. Ein Beispiel, dass sie auch echt größer sein kann, ist z.B. eine Matrix, die überall 0en stehen hat, nur oberhalb der Diagonalen 1er. Das charakteristische Polynom der Matrix ist [mm] $T^n$, [/mm] also ist die algebraische Vielfachheit des (einzigen) Eigenwertes 0 gleich n.
Andererseits ist [mm] $\dim [/mm] E(f,0) = [mm] \dim [/mm] kern(f) = 1$, wie man sofort sieht, da der Rang dieser Matrix gleich $n - 1$ ist. Also ist diese Matrix nicht diagonalisierbar.
(Kann sie gar nicht, sie ist nämlich nilpotent. Es gilt: der einzige Endomorphismus, der zugleich diagonalisierbar und nilpotent ist, ist die Nullabbildung)
Hat das etwas Licht ins Dunkel gebracht?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Außerdem Die Nullstellen müssen reelle Zahlen sein. Damit Matrix diagonilisierbar ist. Ansonsten ist die Matrix nicht diagonilisierbar.
Wenn du also, komplexe Nullstellen gefunden hast, brauchst du die geometrische auch nicht zu finden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Di 25.01.2005 | | Autor: | Gnometech |
Nochmals Gruß!
Was SERIF sagt stimmt natürlich... der Einfachheit halber bin ich von einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie [mm] $\IC$ [/mm] ausgegangen, da ist alles etwas einfacher... falls das char. Polynom über dem Körper (oder Ring), den Du betrachtest gar nicht die erforderliche Anzahl ($n$) an Nullstellen hat, ist die Matrix keinesfalls diagonalisierbar.
Lars
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