Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mo 01.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage zur Diagonalisierbarkeit von Matrizen über [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC. [/mm] Habe hier eine Aufgabe mit einer 3x3 Matrix.
Habe das charakt. Polynom schon ausgerechnet und habe einen Eigenwert über [mm] \IR [/mm] und drei Eigenwerte über [mm] \IC. [/mm] Jetzt muss ich noch irgendwie die Dimension des Eigenraums bestimmen oder? Kann mir jemand sagen wie das geht und warum man das macht?
Zumindest kann ich schonmal sagen dass die Matrix über [mm] \IR [/mm] nicht diagonalisierbar ist, aber über [mm] \IC [/mm] aufgrund der Eigenwerte.
Stimmt es, dass eine 3x3 Matrix mind. 3 Eigenwerte haben muss, um diag.bar zu sein? Hab hier in meinem Skript ein Beispiel mit einer 2x2 Matrix und die hat nur 2 Eigenwerte und ist diag.bar...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 01.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Hallo!
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Hallo! 
> Ich habe mal eine Frage zur Diagonalisierbarkeit von
> Matrizen über [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC.[/mm] Habe hier eine Aufgabe mit einer
> 3x3 Matrix.
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> Habe das charakt. Polynom schon ausgerechnet und habe einen
> Eigenwert über [mm]\IR[/mm] und drei Eigenwerte über [mm]\IC.[/mm] Jetzt muss
> ich noch irgendwie die Dimension des Eigenraums bestimmen
> oder?
Genau.
> Kann mir jemand sagen wie das geht und warum man das
> macht?
Halte mal Ausschau nach dem Satz:
Eine Matrix ist diag'bar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1) Das char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren
2) Für jeden Eigenwert gilt: algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit
Die geometrische Vielfachheit ist (je Eigenwert) die Dimension des Eigenraums.
Überlege dir für jeden Eigenwert anhand der Definition von Eigenwerten/Eigenvektoren, welche Eigenvektoren es gibt. Diese spannen (je Eigenwert) den Eigenraum auf. Wie viele Basisvektoren braucht man, um diesen Eigenraum aufzuspannen?
> Zumindest kann ich schonmal sagen dass die Matrix über [mm]\IR[/mm]
> nicht diagonalisierbar ist, aber über [mm]\IC[/mm] aufgrund der
> Eigenwerte.
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> Stimmt es, dass eine 3x3 Matrix mind. 3 Eigenwerte haben
> muss, um diag.bar zu sein? Hab hier in meinem Skript ein
> Beispiel mit einer 2x2 Matrix und die hat nur 2 Eigenwerte
> und ist diag.bar...
Mehr Eigenwerte kann eine 2x2-Matrix auch nicht haben. Die Dimension der Matrix ist immer größer oder gleich der Anzahl der Eigenwerte. Unterscheide außerdem zwischen gleichen und verschiedenen Eigenwerten. Hat eine Matrix n verschiedene Eigenwerte, so ist sie diag'bar.
Schöne Grüße,
djmatey
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 02.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Hab ich das richtig verstanden? Eine nxn Matrix muss also mindestens n verschiedene Eigenwerte haben, um diagonalisierbar zu sein?
Und was ist genau die Dimension des Eigenraums? Die Anzahl der Eigenvektoren, die den Eigenraum aufspannen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 02.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Hab ich das richtig verstanden? Eine nxn Matrix muss also
> mindestens n verschiedene Eigenwerte haben, um
> diagonalisierbar zu sein?
Das ist, so weit ich weiß, zunächst mal ein hinreichendes Kriterium für Diagonalisierbarkeit.
Eine n x n - Matrix ist genau dann diag'bar, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt
>
> Und was ist genau die Dimension des Eigenraums? Die Anzahl
> der Eigenvektoren, die den Eigenraum aufspannen?
Richtig. Also streng genommen, die minimale Anzahl. Zu einem Eigenwert gibt es eine Menge (einen Raum) von Eigenvektoren. Die Anzahl seiner Basiselemente, d.h. der linear unabhängigen Elemente, die diesen (Eigen-)Raum aufspannen, ist seine Dimension.
Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Di 02.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Nochmal ganz kurz ne Frage:
Also die Kriterien für Diag'barkeit sind:
1) [mm] P_{F}(t) [/mm] zerfällt in Linearfaktoren
2) es gibt mehr als einen Eigenwert
3) [mm] \mu(P_{F},\lambda)\ge [/mm] dim [mm] Eig(F,\lambda)
[/mm]
Stimmt das?
Ich rechne nämlich gerade an einem Beispiel (3x3 Matrix), es gibt einen Eigenwert, aber alle anderen Kriterien sind erfüllt, d.h. es zerfällt in Linearfaktoren und soweit ichs richtig gemacht habe, ist [mm] \mu=dimEig [/mm] und ich weiß jetzt immer noch nicht, ob meine Matrix diag'bar ist über [mm] \IR?! [/mm] :(
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Hallo mary-ann,
> Nochmal ganz kurz ne Frage:
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> Also die Kriterien für Diag'barkeit sind:
> 1) [mm]P_{F}(t)[/mm] zerfällt in Linearfaktoren
> 2) es gibt mehr als einen Eigenwert
Das muss heißen:
Es gibt mindestens einen Eigenwert
> 3) [mm]\mu(P_{F},\lambda)\ge[/mm] dim [mm]Eig(F,\lambda)[/mm]
Hier muß das Gleichheitszeichen stehen, da die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit sein muß.
[mm]\mu(P_{F},\lambda)= \ [/mm]dim [mm]Eig(F,\lambda)[/mm]
>
> Stimmt das?
> Ich rechne nämlich gerade an einem Beispiel (3x3 Matrix),
> es gibt einen Eigenwert, aber alle anderen Kriterien sind
> erfüllt, d.h. es zerfällt in Linearfaktoren und soweit ichs
> richtig gemacht habe, ist [mm]\mu=dimEig[/mm] und ich weiß jetzt
> immer noch nicht, ob meine Matrix diag'bar ist über [mm]\IR?![/mm]
> :(
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 03.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Also ich muss jetzt mal hier meine Aufgabe posten, denn irgendwie bin ich verwirrt. 
Ich habe folgende Matrix: [mm] \pmat{ 6 & -12 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \\ -3 & 8 & -2 }
[/mm]
Habe das charakt. Polynom ausgerechnet: t³-4t²+4t-16 Dieses zerfällt in Linearfaktoren (t²+4)(t-4)
Meine Nullstelle ist t=4
Habe dann einen Eigenvektor ausrechnen können und somit ist die dimEig=1 und [mm] \mu(A,\lambda) [/mm] ist auch 1. Daraus folgt dann, dass meine Matrix A über [mm] \IR [/mm] diag'bar ist. Richtig?
Anfangs habe ich nämlich tausend mal rumgerechnet und rausbekommen, dass A nicht diag'bar ist, aber jetzt auf einmal scheint sie es doch zu tun. Deshalb bin ich total verwirrt und unsicher.
Wenn jemand nochmal nachrechnen möchte, wäre ich sehr dankbar.
Leider sind mir die Bedingungen für Diag'barkeit noch nicht klar, weil ich ständig überall was anderes lese....
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> Also ich muss jetzt mal hier meine Aufgabe posten, denn
> irgendwie bin ich verwirrt.
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> Ich habe folgende Matrix: [mm]\pmat{ 6 & -12 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \\ -3 & 8 & -2 }[/mm]
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> Habe das charakt. Polynom ausgerechnet: t³-4t²+4t-16 Dieses
> zerfällt in Linearfaktoren (t²+4)(t-4)
> Meine Nullstelle ist t=4
> Habe dann einen Eigenvektor ausrechnen können und somit
> ist die dimEig=1 und [mm]\mu(A,\lambda)[/mm] ist auch 1. Daraus
> folgt dann, dass meine Matrix A über [mm]\IR[/mm] diag'bar ist.
> Richtig?
Hallo,
nein, darauf folgt keine Diagonalisierbarkeit.
Denn über [mm] \IR [/mm] hat die Matrix ja nur (bis auf Vielfache) den einen von Dir berechneten Eigenvektor.
Für Diagonalisierbarkeit brauchen wir aber eine Basis aus Eigenvektoren, hier also 3 linear unabhängige Eigenvektoren.
Nun betrachte das ganze aber mal über [mm] \IC.
[/mm]
Hier hast Du dann 3 verschiedene Eigenwerte mit jeweils eindimensionalen Eigenräumen, die von 3 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt werden.
Über [mm] \IC [/mm] ist die Matrix also diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mi 03.12.2008 | | Autor: | mary-ann |
Okay genau du hast Recht! Vielen Dank für deine Antwort.
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