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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Diagonalisierbarkeit
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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Di 01.09.2009
Autor: Domwow

Aufgabe
Die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 5& 0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0 } [/mm] ist diagonalisierbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Moin!

Wie sieht man schnell, dass diese Matrix diagonalisierbar ist?


Lieben Gruß, Dom.

        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Di 01.09.2009
Autor: felixf

Hallo Dom!

> Die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 5& 0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0 }[/mm]
> ist diagonalisierbar.
>  
> Wie sieht man schnell, dass diese Matrix diagonalisierbar
> ist?

Unterteile sie in die obere linke $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix (nennen wir sie $A$) und die untere rechte $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix (nennen wir sie $B$). Wenn $A$ und $B$ diagonalisierbar sind, dann auch die gesamte Matrix.

Nun ist $B$ symmetrisch, also orthogonal diagonalisierbar.

Weiterhin ist das charakteristische Polynom von $A$ gerade $(x - 1) (x - 2)$, also hat $A$ zwei einfache Eigenwerte und ist somit ebenfalls diagonalisierbar.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Di 01.09.2009
Autor: Domwow

Danke, so hab ich es mir auch gedacht, wusste aber nicht, dass man sie unterteilen kann und dann immer noch auf Diagonaliserbarkeit schließen kann.


Gruß, Dom.

Bezug
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