Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Di 10.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die lineare Abbildung [mm] \alpha: \IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit [mm] \alpha \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}= \pmat{ -3 & 1 &-1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] diagonalisierbar ist. |
Hallo,
Also zunächst mal ist die Darstellungsmatrix A bzgl. der Standardbasis ja einfach A:= [mm] \pmat{ -3 & 1 &-1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2}.
[/mm]
So nun hab ich über det(A- [mm] \lambda*E_{3})= [/mm] 0 die Eigenwerte berechnet und kam auf [mm] (-1)(\lambda +2)^2 (\lambda [/mm] -4) =0. Woraus folgt, dass [mm] \lambda_{1} [/mm] =-2 Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 ist und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 4 Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1 ist.
Nun muss laut Vorlesung die Summe der algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte gleich der Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] entsprechen, also offensichtlich 3 und da es das tut, ist die Abbildung diagonalisierbar.
Stimmt das soweit?
Vielen Dank für eure Hilfe schon im voraus.
Viele Grüße
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> Untersuchen Sie, ob die lineare Abbildung [mm]\alpha: \IR^3 \to \IR^3[/mm]
> mit [mm]\alpha \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}= \pmat{ -3 & 1 &-1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> diagonalisierbar ist.
> Hallo,
>
> Also zunächst mal ist die Darstellungsmatrix A bzgl. der
> Standardbasis ja einfach A:= [mm]\pmat{ -3 & 1 &-1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2}.[/mm]
>
> So nun hab ich über det(A- [mm]\lambda*E_{3})=[/mm] 0 die
> Eigenwerte berechnet und kam auf [mm](-1)(\lambda +2)^2 (\lambda[/mm]
> -4) =0. Woraus folgt, dass [mm]\lambda_{1}[/mm] =-2 Eigenwert mit
> algebraischer Vielfachheit 2 ist und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 4
> Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1 ist.
> Nun muss laut Vorlesung die Summe der algebraischen
> Vielfachheiten der Eigenwerte gleich der Dimension des
> [mm]\IR^3[/mm] entsprechen,
> also offensichtlich 3 und da es das tut,
> ist die Abbildung diagonalisierbar.
>
> Stimmt das soweit?
Nein.
Für die Diagonalisierbarkeit muß die Summe der geometrischen Vielfachheiten auch =3 sein, dh. man braucht 3 linear unabhängige Eigenvektoren, was Du bisher noch nicht ausgerechnet hast.
Gruß v. Angela
> Vielen Dank für eure Hilfe schon im voraus.
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 10.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke nochmals,
> Für die Diagonalisierbarkeit muß die Summe der
> geometrischen Vielfachheiten auch =3 sein, dh. man braucht
> 3 linear unabhängige Eigenvektoren, was Du bisher noch
> nicht ausgerechnet hast.
Sorry, hatte verdrängt, dass wir gesagt haben: eine Matrix A [mm] \in K^{n x n} [/mm] ist genau dann diagonalisierbar, wenn die Summe der algebraischen Vielfachheiten =n ist, UND die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts [mm] \lambda_{i} [/mm] gleich der geometrischen Vielfachheit vom Eigenwert [mm] \lambda_{i} [/mm] ist, wobei i= 1,...,s.
Somit komm ich nun beim Eigenwert -2 auf die geometrische Vielfachheit 1, während die algebraische Vielfachheit 2 ist, woraus folgt, dass A nicht diagonalisierbar ist.
Viele Grüße
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