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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Diagonalisierbarkeit
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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 So 02.05.2010
Autor: pippilangstrumpf

Aufgabe
Ist eine Matrix A diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix DA für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

    D= S ^{-1}AS  

Die Definition ist mir klar.  Auf der Diagonale stehen die Eigenwerte.
S ist meine Matrix, aus den Spalten der zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren.

Meine Frage:
Wann ist eigentlich S ^{-1} = S ^{T}.
Ich habe auch schon Definitionen wie folgt gesehen:
  D= S ^{T}AS .
Wann darf ich das machen?
Ist das automatisch so?



        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 So 02.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Ist eine Matrix A diagonalisierbar, existiert eine
> Diagonalmatrix D für die die Ähnlichkeitsbedingung
> erfüllt ist:
>  
> D= S ^{-1}AS
> Die Definition ist mir klar.  Auf der Diagonale stehen die
> Eigenwerte.
>  S ist meine Matrix, aus den Spalten der zu den Eigenwerten
> gehörigen Eigenvektoren.
>  
> Meine Frage:
>  Wann ist eigentlich S ^{-1} = S ^{T}.

Hallo,

wenn die Matrix S othogonal ist, und das ist sie, wenn Deine Basis aus Eigenvektoren eine ONB ist.

>  Ich habe auch schon Definitionen wie folgt gesehen:
>    D= S ^{T}AS .
>  Wann darf ich das machen?
>  Ist das automatisch so?

Nein.

Gruß v. Angela

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 So 02.05.2010
Autor: pippilangstrumpf

Verstehe ich das richtig:
Wenn ich meine Eigenvektoren normiere (orthogonal sind sie ja bereits, da Eigenvektoren senktrecht aufeinander stehen) -> ONB.

Wenn also meine Matrix S aus normierten Eigenvektoren besteht, dann ist transponiert gleich invers?

DANKE.

Bezug
                        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 So 02.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Verstehe ich das richtig:
>  Wenn ich meine Eigenvektoren normiere (orthogonal sind sie
> ja bereits, da Eigenvektoren senktrecht aufeinander stehen)


???

Hallo,

das stimmt i.a. aber nicht.

> -> ONB.
>  
> Wenn also meine Matrix S aus normierten Eigenvektoren
> besteht, dann ist transponiert gleich invers?

Ja.

Gruß v. Angela



Bezug
                                
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 So 02.05.2010
Autor: pippilangstrumpf

Aufgabe 1
EV senkrecht

Aufgabe 2
Habe ich da etwas falsch verstanden? Ich dachte, dass Eigenvektoren zu paarweise unterschiedlichen EWerten senkrecht sind?

Habe ich da etwas falsch verstanden? Ich dachte, dass Eigenvektoren zu paarweise unterschiedlichen EWerten senkrecht sind?

Bezug
                                        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 So 02.05.2010
Autor: angela.h.b.


> EV senkrecht
>  Habe ich da etwas falsch verstanden? Ich dachte, dass
> Eigenvektoren zu paarweise unterschiedlichen EWerten
> senkrecht sind?

Hallo,

i.a. sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht senkrecht zueinander, sondern linear unabhängig.
Daß sie orthogonal sind, gilt nur bei gewissen Matrizen: bei den symmetrischen.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 So 02.05.2010
Autor: pippilangstrumpf

Danke für den Tipp. Das hatte ich vergessen zu erwähnen. Ich bin von einer symmetrischen Matrix ausgegangen.
DANKE.

Bezug
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