Diagonalisierbarkeit < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 08.02.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Ist die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & a \\ a & 1 }\in (2x2,\IR) [/mm] für alle [mm] a\in\IR [/mm] diagonalisierbar? |
Also, [mm] \psi(\lambda)=(A-\lambda)=\pmat{ 1-\lambda & a \\ a & 1-\lambda }=(1-\lambda)^2-a^2
[/mm]
Dann [mm] \lambda^2-2\lambda-a^2+1=0
[/mm]
p=-2
[mm] q=-a^2+1
[/mm]
[mm] \lambda_1=1+a
[/mm]
[mm] \lambda_2=1-a
[/mm]
1. Fall: [mm] \lambda_1:
[/mm]
[mm] \pmat{ -a & a \\ a & -a }=0, [/mm] --> [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Setze [mm] x_1=t, [/mm] so folgt: [mm] \vec{x}=t\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
2. Fall: [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] \pmat{ a & a \\ a & a }=0. [/mm] a=-a, [mm] x_1=-x_2, [/mm] setzte [mm] x_1=t. [/mm] so [mm] folgt:\vec{x}=t\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Jetzt auf Diagonalisierbarkeit überprüfen:
Fall 1: a>0, so ist die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2= [/mm] 1. Auch die geometrische Vielfachheit ist bei beiden 1.
Fall 2: a<0 ist genau das gleiche.
Fall 3: a=0, so ist die algebraische Vielfachheit da 2 und die geometrische Vielfachheit 1, also für a=0 ist es nicht Diagonalisierbar.
Kann ich es so machen´?
Was war nochmal die Bedingung für Triagonalisierbarkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & a \\ a & 1 }\in (2x2,\IR)[/mm] für
> alle [mm]a\in\IR[/mm] diagonalisierbar?
> Also, [mm]\psi(\lambda)=(A-\lambda)=\pmat{ 1-\lambda & a \\ a & 1-\lambda }=(1-\lambda)^2-a^2[/mm]
>
> Dann [mm]\lambda^2-2\lambda-a^2+1=0[/mm]
>
> p=-2
> [mm]q=-a^2+1[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=1+a[/mm]
> [mm]\lambda_2=1-a[/mm]
Achtung: es ist [mm] \wurzel{a^2}=|a|, [/mm] also:
[mm]\lambda_1=1+|a|[/mm]
[mm]\lambda_2=1-|a|[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]\lambda_1:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -a & a \\ a & -a }=0,[/mm] --> [mm]x_1=x_2.[/mm]
>
> Setze [mm]x_1=t,[/mm] so folgt: [mm]\vec{x}=t\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> 2. Fall: [mm]\lambda_2:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & a \\ a & a }=0.[/mm] a=-a, [mm]x_1=-x_2,[/mm] setzte [mm]x_1=t.[/mm] so
> [mm]folgt:\vec{x}=t\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
>
> Jetzt auf Diagonalisierbarkeit überprüfen:
>
> Fall 1: a>0, so ist die algebraische Vielfachheit von
> [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2=[/mm] 1. Auch die geometrische
> Vielfachheit ist bei beiden 1.
>
> Fall 2: a<0 ist genau das gleiche.
Das da oben kannst Du Dir doch sparen (auch wenn Du es mit |a| gemacht hättest statt mit a)
Für a [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] \lambda_1 \ne \lambda_2
[/mm]
Also ist wegen [mm] $\IR^2= kern(A-\lambda_1E) \oplus kern(A-\lambda_2E) [/mm] $
dim [mm] kern(A-\lambda_1E)= [/mm] 1 [mm] =kern(A-\lambda_2E)
[/mm]
Damit gibt es eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] aus Eigenvektoren von A. Damit ist A diagonalisierbar. Rechnen muß man fast nichts !
>
> Fall 3: a=0, so ist die algebraische Vielfachheit da 2 und
> die geometrische Vielfachheit 1, also für a=0 ist es nicht
> Diagonalisierbar.
Hoppla !!!! Schau Dir die Matrix A im Fall a=0 doch mal an ! "Diagonaler" kan eine Matrix doch kaum sein.
FRED
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> Kann ich es so machen´?
>
> Was war nochmal die Bedingung für Triagonalisierbarkeit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 08.02.2012 | | Autor: | durden88 |
Zu dem dritten Fall a=0. Ok, dann habe ich eine inverse Matrix und wenn ich a=0 einsetze, hab ich also nicht zwei Nullstellen=1, sondern nur eine Nullstelle, das heißt: Algebraische Vielfachheit=1 und die Geometrische Vielfachheit genauso, richtig?
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Hallo durden88,
> Zu dem dritten Fall a=0. Ok, dann habe ich eine inverse
> Matrix
Hä?
> und wenn ich a=0 einsetze, hab ich also nicht zwei
> Nullstellen=1, sondern nur eine Nullstelle,
Aber eine doppelte!
> das heißt:
> Algebraische Vielfachheit=1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und die Geometrische
> Vielfachheit genauso, richtig?
Nein!
Hää?
Für $a=0$ hast du doch [mm] $A=\pmat{1&0\\0&1}$, [/mm] also die Einheitsmatrix...
Rechne, wenn du Spaß hast, in diesem Falle nochmal die geometr. Vielfachheit nach ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 08.02.2012 | | Autor: | durden88 |
Ja, dann is [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] und dann ist der Eigenvektor: [mm] \vektor{0 \\ 0}, [/mm] und das darf nicht oder? Und dann ist die geometrische Vielfachheit=0, oder´?
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Hallo durden88,
> Ja, dann is [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=0[/mm] und dann ist der Eigenvektor:
> [mm]\vektor{0 \\ 0},[/mm] und das darf nicht oder? Und dann ist die
Richtig, der Eigenvektor darf nicht der Nullvektor sein.
> geometrische Vielfachheit=0, oder´?
Nein, es gibt vom Nullvektor verschiedene Eigenvektoren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 08.02.2012 | | Autor: | durden88 |
> > geometrische Vielfachheit=0, oder´?
>
>
> Nein, es gibt vom Nullvektor verschiedene Eigenvektoren.
>
Was bedeutet das? Also ein Aufspann? Dann müsste es ja unendliche Eigenvektoren von 0 geben, wie komm ich denn dann auf meine geometrische Vielfachheit 1?
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Hallo durden88,
> > > geometrische Vielfachheit=0, oder´?
> >
> >
> > Nein, es gibt vom Nullvektor verschiedene Eigenvektoren.
> >
> Was bedeutet das? Also ein Aufspann? Dann müsste es ja
> unendliche Eigenvektoren von 0 geben, wie komm ich denn
> dann auf meine geometrische Vielfachheit 1?
Keine Ahnung.
Gesucht sind hier linear unabhängige Vektoren.
Die Anzahl derer ist dann die geometrische Vielfachheit.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 08.02.2012 | | Autor: | durden88 |
> Gesucht sind hier linear unabhängige Vektoren.
>
> Die Anzahl derer ist dann die geometrische Vielfachheit.
>
Die Anzahl der linear unabhägigen Vektoren gibt mir die geometrische Vielfachheit an? Ja das ist ja super Easy, die ist =1, muss ich garnicht nach rechnen, richtig?
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Hallo durden88,
> > Gesucht sind hier linear unabhängige Vektoren.
> >
> > Die Anzahl derer ist dann die geometrische Vielfachheit.
> >
> Die Anzahl der linear unabhägigen Vektoren gibt mir die
> geometrische Vielfachheit an? Ja das ist ja super Easy, die
> ist =1, muss ich garnicht nach rechnen, richtig?
Die zu betrachtende Matrix ist die Nullmatrix:
[mm]\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{0\\ 0}[/mm]
Da sich hier eine Nullzeile ergibt, sind 2 Variablen frei wählbar.
Daher gibt es auch zwei linear unabhängige Vektoren,
die den Lösungsraum aufspannen.
Gruss
MathePower
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