Diagonalisierbarkeit und EW < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Es sei K ein Körper und [mm] A\in M_{nxn}(K) [/mm] mit [mm] A\not=0 [/mm] und [mm] A^m=0 [/mm] für ein [mm] m\in\IN. [/mm] Entscheiden sie, ob A diagonalisierbar ist und geben sie eine ausführliche Begründung.
b) Es sei [mm] A\in M_{nxn}(\IC) [/mm] mit der Eigenschaft [mm] A^4=E_n. [/mm] Bestimmen sie die möglichen Eigenwerte von A und geben sie eine ausführliche Begründung. |
zu a) Diagonalisierbarkeit gilt, wenn es eine Diagonalisierungsmatrix gibt wo gilt: [mm] D_A=S^{-1}*A*S [/mm]
Allgemein ist eine Matrix diagonalisierbar, wenn die geometrsiche Vielfachheit der Eigenwerte gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
Mehr fällt mir dazu grad nicht ein.
A ist keine Nullmatrix und [mm] A^m=0 [/mm] Ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass A diagonalisierbar ist (oder auch nicht) und vor allem wie ich das begründe.
b) [mm] A^4 [/mm] entspricht hier der Einheitsmatrix. Um die Eigenwerte zu bestimmen muss das charakteristische Polynom bestimmt werden. Allgemein müsste dann für das charalteristische Polynom [mm] (1-x)^n [/mm] gelten.
Also müsste x=1 der mögliche Eigenwert sein.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Es sei K ein Körper und [mm]A\in M_{nxn}(K)[/mm] mit [mm]A\not=0[/mm] und
> [mm]A^m=0[/mm] für ein [mm]m\in\IN.[/mm] Entscheiden sie, ob A
> diagonalisierbar ist und geben sie eine ausführliche
> Begründung.
>
> b) Es sei [mm]A\in M_{nxn}(\IC)[/mm] mit der Eigenschaft [mm]A^4=E_n.[/mm]
> Bestimmen sie die möglichen Eigenwerte von A und geben sie
> eine ausführliche Begründung.
> zu a) Diagonalisierbarkeit gilt, wenn es eine
> Diagonalisierungsmatrix gibt wo gilt: [mm]D_A=S^{-1}*A*S[/mm]
>
> Allgemein ist eine Matrix diagonalisierbar, wenn die
> geometrsiche Vielfachheit der Eigenwerte gleich der
> algebraischen Vielfachheit ist.
>
> Mehr fällt mir dazu grad nicht ein.
Auch nicht die Definition des Begriffs "diagonalisierbar "?
Nehmen wir an, A sei diagonalisierbar . Dann gibt es eine Basis [mm] \{b_1,...,b_n\} [/mm] des Raumes [mm] K^n [/mm] mit der Eigenschaft: alle [mm] b_j [/mm] sind Eigenvektoren von A.
Mach Dir klar, dass die nilpotente Matrix A nur den Eigenwert 0 hat .
Also gilt
[mm] Ab_j=0 [/mm] für jedes j.
Mach Dir nun klar, dass dann A die Nullmatrix sein muß.
>
> A ist keine Nullmatrix und [mm]A^m=0[/mm] Ich weiß nicht wie ich
> zeigen soll, dass A diagonalisierbar ist (oder auch nicht)
> und vor allem wie ich das begründe.
>
>
> b) [mm]A^4[/mm] entspricht hier der Einheitsmatrix. Um die
> Eigenwerte zu bestimmen muss das charakteristische Polynom
> bestimmt werden. Allgemein müsste dann für das
> charalteristische Polynom [mm](1-x)^n[/mm] gelten.
> Also müsste x=1 der mögliche Eigenwert sein.
Wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist, so ist [mm] \lambda^4 [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^4. [/mm] Ist Dir das klar ?
Wegen $ [mm] A^4=E_n$, [/mm] folgt: [mm] \lambda^4=1 [/mm]
Welche kommplexen Zahlen [mm] \lambda [/mm] mit [mm] \lambda^4=1 [/mm] kennst Du ?
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Deine Erklärung bei a) hab ich leide rnicht verstanden.
zu b) wenn es um die komplexen zahlen geht und [mm] \lambda=1 [/mm] ist dann gilt [mm] 1=-i^2 [/mm] oder?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Deine Erklärung bei a) hab ich leide rnicht verstanden.
Was hast Du nicht verstanden ?
>
> zu b) wenn es um die komplexen zahlen geht und [mm]\lambda=1[/mm]
> ist dann gilt [mm]1=-i^2[/mm] oder?
Ja, ja, ja, [mm] i^2=-1
[/mm]
Nochmal: in [mm] \IC [/mm] gibt es genau 4 Zahlen [mm] \lambda [/mm] mit $ [mm] \lambda^4=1 [/mm] $.
Welche sind das ?
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Ok, es ist [mm] A\not=0 [/mm] und [mm] A^m=0.
[/mm]
Man erkennt hier, dass es sich um eine nilpotente Matrix handeln muss. Eine Matrix ist nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ist. Das ist hier bei [mm] A^m=0 [/mm] der Fall.
Es soll nun entschieden werden, ob A=0 diagonalisierbar ist.
Man kann annehmen, dass A diagonalisierbar ist . Dann gibt es eine Basis [mm] {b_1,..,b_n} [/mm] von [mm] K^n [/mm] wobei gilt: alle [mm] b_j [/mm] sind Eigenvektoren von A.
Da A nilpotent ist, sind muss gelten: Aj=0 Es sind alle Eigenwerte Null.
Mir ist trotzdem noch nicht klar, warum jetzt A diagonalisierbar ist, also ich erkenne den Zusammenhang nicht zwischen der nilpotenten Matrix und Diagonalisierbarkeit. Die Nullmatrix müsste dann ja eine Art Spezialfall sein, wo auf den Diagonalen überall Null steht.
zu b)
zu [mm] \lambda=1 [/mm] fällt mir nur [mm] -i^2 [/mm] ein...da hab ich keine andere idee...
MfG
Mathegirl
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Hallo
> zu b)
>
> zu [mm]\lambda=1[/mm] fällt mir nur [mm]-i^2[/mm] ein...da hab ich keine
> andere idee...
>
Sagt dir "Radizieren der n-ten Wurzel einer Komplexen Zahl" etwas?
Habe ![[]](/images/popup.gif) HIER eine nette Erklärung der Vorgehensweise entdeckt ;)
Bin mir zwar nicht ganz sicher, ob es dir bei deinem Bsp. hilft, es mal gehört zu haben könnte jedoch irgendwann sehr nützlich werden.
> MfG
> Mathegirl
LG Scherzkrapferl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, es ist [mm]A\not=0[/mm] und [mm]A^m=0.[/mm]
> Man erkennt hier, dass es sich um eine nilpotente Matrix
> handeln muss. Eine Matrix ist nilpotent, wenn eine ihrer
> Potenzen die Nullmatrix ist. Das ist hier bei [mm]A^m=0[/mm] der
> Fall.
>
> Es soll nun entschieden werden, ob A=0 diagonalisierbar
> ist.
>
> Man kann annehmen, dass A diagonalisierbar ist . Dann gibt
> es eine Basis [mm]{b_1,..,b_n}[/mm] von [mm]K^n[/mm] wobei gilt: alle [mm]b_j[/mm]
> sind Eigenvektoren von A.
>
> Da A nilpotent ist, sind muss gelten: Aj=0 Es sind alle
> Eigenwerte Null.
>
> Mir ist trotzdem noch nicht klar, warum jetzt A
> diagonalisierbar ist, also ich erkenne den Zusammenhang
> nicht zwischen der nilpotenten Matrix und
> Diagonalisierbarkeit. Die Nullmatrix müsste dann ja eine
> Art Spezialfall sein, wo auf den Diagonalen überall Null
> steht.
Mein Gott, liest Du was ich Dir geschrieben habe ??? Ich habe einen Widerspruchsbeweis gemacht.
Wenn eine nilpotente Matrix diagonalisierbar ist, so ist sie die Nullmatrix.
Die Begründung habe ich Dir oben (fast) komplett aufgeschrieben.
In Deinen Vor. steht aber, das A [mm] \ne [/mm] 0 ist.
FAZIT: eine nilpotente Matrix A mit A [mm] \ne [/mm] 0 ist nicht diagonalisierbar.
>
>
> zu b)
>
> zu [mm]\lambda=1[/mm] fällt mir nur [mm]-i^2[/mm] ein...da hab ich keine
> andere idee...
Hast Du Tomaten auf den Augen ? Zum zweihundertdreiundvierzigsten mal: es geht um die Gleichung
[mm]\lambda^4=1[/mm]
Z. B. sind 1 und -1 Lösungen der Gl. In [mm] \IC [/mm] gibts noch 2 weitere. Welche ?
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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[mm] \lambda_1=1
[/mm]
[mm] \lambda_2=-1
[/mm]
[mm] \lambda_3=i??
[/mm]
[mm] \lambda_4=-i??
[/mm]
Ich weiß es wirklich nicht....
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\lambda_1=1[/mm]
> [mm]\lambda_2=-1[/mm]
> [mm]\lambda_3=i??[/mm]
> [mm]\lambda_4=-i??[/mm]
Ja
FRED
>
> Ich weiß es wirklich nicht....
P.S.: was soll das Gejammere ? Die Lösungen der obigen Gl. kann man berechnen. Warum tust Du das nicht ? Unser österreichischer Scherzkeks hat Dir doch einen Link in die Hand gegeben. Warum schaust Du da nicht rein ?
>
> MfG
> Mathegirl
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Die Eigenwerte sind ja nun bestimmt. 1,-1,i,-i
Es ist aber gefordert eine "ausführliche Begründung" anzugeben.
Wie kann man das hier machen? Eigentlich ist doch mit der Berechnug der EW alles klar!
MfG
Mathegirl
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> Die Eigenwerte sind ja nun bestimmt. 1,-1,i,-i
>
> Es ist aber gefordert eine "ausführliche Begründung"
> anzugeben.
>
> Wie kann man das hier machen? Eigentlich ist doch mit der
> Berechnug der EW alles klar!
Hallo,
sag mal genauer, was klar ist.
Warum sind "die Eigenwerte" bestimmt?
Was machst Du, wenn ich behaupte, daß 5 auch ein Eigenwert sein kann?
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 So 25.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Eigenwerte sind ja nun bestimmt. 1,-1,i,-i
>
> Es ist aber gefordert eine "ausführliche Begründung"
> anzugeben.
>
> Wie kann man das hier machen?
> Ich werde wahnsinnig ! Das habe ich Dir geschrieben:
"Wenn $ [mm] \lambda [/mm] $ ein Eigenwert von A ist, so ist $ [mm] \lambda^4 [/mm] $ ein Eigenwert von $ [mm] A^4. [/mm] $ Ist Dir das klar ?
Wegen $ [mm] A^4=E_n [/mm] $, folgt: $ [mm] \lambda^4=1 [/mm] $
Welche kommplexen Zahlen $ [mm] \lambda [/mm] $ mit $ [mm] \lambda^4=1 [/mm] $ kennst Du ? "
FRED
> Eigentlich ist doch mit der
> Berechnug der EW alles klar!
>
> MfG
> Mathegirl
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> > Die Eigenwerte sind ja nun bestimmt. 1,-1,i,-i
> >
> > Es ist aber gefordert eine "ausführliche Begründung"
> > anzugeben.
> >
> > Wie kann man das hier machen?
>
> > Ich werde wahnsinnig !
Bitte nicht, Fred!
Ich glaub' wirklich, welches die Lösungen von [mm] x^4=1 [/mm] sind, hat sie nun kapiert, und im Idealfall auch, daß diese Lösungen Eigenwerte von A sind.
Ich verstehe es so, daß unser MG nun noch begründen soll, warum es keine anderen Eigenwerte gibt und deshalb nachfragt.
LG Angela
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Ja, warum das Eigenwerte sind hab ich verstanden. Mich stört nur der Aufgabenteil: gib eine ausführliche Begründung. Das scheint mir alles so logisch, dass ich nicht weiß was ich da noch wie begründen soll.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 So 25.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, warum das Eigenwerte sind hab ich verstanden.
Das glaube ich nicht. Die obengenannten Zahlen sind mögliche Eigenwerte
> Mich
> stört nur der Aufgabenteil: gib eine ausführliche
> Begründung. Das scheint mir alles so logisch, dass ich
> nicht weiß was ich da noch wie begründen soll.
Eine Begründung habe ich Dir geliefert.
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 So 25.03.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > > Die Eigenwerte sind ja nun bestimmt. 1,-1,i,-i
> > >
> > > Es ist aber gefordert eine "ausführliche Begründung"
> > > anzugeben.
> > >
> > > Wie kann man das hier machen?
>
> >
> > > Ich werde wahnsinnig !
>
> Bitte nicht, Fred!
> Ich glaub' wirklich, welches die Lösungen von [mm]x^4=1[/mm] sind,
> hat sie nun kapiert, und im Idealfall auch, daß diese
> Lösungen Eigenwerte von A sind.
>
> Ich verstehe es so, daß unser MG nun noch begründen soll,
> warum es keine anderen Eigenwerte gibt und deshalb
> nachfragt.
Hallo Angela,
die Begründung: [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A [mm] \Rightarrow \lambda^4=1
[/mm]
habe ich unserem MG doch schon in meiner ersten Antwort geliefert !
Da gibts nichts mehr nachzufragen.
Grüße FRED
>
> LG Angela
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