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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 So 24.05.2009 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Diagonalisiere
N:= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 4 }
[/mm]
und berechne [mm] N^5 [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe ein kleines Problem. Ich habe von der Matrix die Eigenwerte (1, 2, 3) und die Eigenvektoren berechnet, letzte sehen folgendermassen aus:
[mm] v_1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} v_2=\vektor{1 \\ 5 \\ 1} v_3=\vektor{2 \\ 7 \\ 4}
[/mm]
soweit, so gut. Aus den drei Vektoren hab ich dann einfach eine Matrix [mm] S_N [/mm] gemacht, von der ich gerne die Inverse hätte um dann
D= [mm] S_N^{-1}*N*S_N [/mm] zu rechnen. Mit dem D, eine Diagonalmatrix, kann ich dann meiner Meinung ja ganz leicht [mm] N^5 [/mm] berechnen.
So, mein Problem ist nun, ich krieg einfach diese Inverse nicht hin. Da kommt dann einfach mal keine Diagonalmatrix bei raus. Hier mal das Ergebnis meiner Inversenberechnung:
[mm] \pmat{ \bruch{-13}{2} & 2 & \bruch{-1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \bruch{3}{2} & -1 & \bruch{1}{2}}
[/mm]
Kann mir jemand helfen, denn wenn ich diese mit N und dann mit [mm] S_N [/mm] multipliziere kommt keine Diagonalmatrix raus.
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> Diagonalisiere
> N:= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 4 }[/mm]
> und
> berechne [mm]N^5[/mm]
> Hallo Leute,
> ich habe ein kleines Problem. Ich habe von der Matrix die
> Eigenwerte (1, 2, 3) und die Eigenvektoren berechnet,
> letzte sehen folgendermassen aus:
> [mm]v_1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} v_2=\vektor{1 \\ 5 \\ 1} v_3=\vektor{2 \\ 7 \\ 4}[/mm]
>
> soweit, so gut. Aus den drei Vektoren hab ich dann einfach
> eine Matrix [mm]S_N[/mm] gemacht, von der ich gerne die Inverse
> hätte um dann
> D= [mm]S_N^{-1}*N*S_N[/mm] zu rechnen. Mit dem D, eine
> Diagonalmatrix, kann ich dann meiner Meinung ja ganz leicht
> [mm]N^5[/mm] berechnen.
Hallo,
bis hierher ist alles richtig.
> So, mein Problem ist nun, ich krieg einfach diese Inverse
> nicht hin. Da kommt dann einfach mal keine Diagonalmatrix
> bei raus. Hier mal das Ergebnis meiner Inversenberechnung:
> [mm]\pmat{ \bruch{-13}{2} & 2 & \bruch{-1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \bruch{3}{2} & -1 & \bruch{1}{2}}[/mm]
Die stimmt halt nicht.
Rechne nach, wenn's nicht klappt, rechne vor, wie Du die Inverse bestimmst.
Gruß v. Angela
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> Kann mir jemand helfen, denn wenn ich diese mit N und dann
> mit [mm]S_N[/mm] multipliziere kommt keine Diagonalmatrix raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 24.05.2009 | | Autor: | chipbit |
Mh, also die Formel ist ja [mm] S^{-1}= \bruch{(S^{adj})^T}{det S} [/mm] oder?
Die Determinante von S ist bei mir -2 (das muss ich wohl nicht vorrechnen, oder?)
weiterhin berechne ich [mm] S^{adj} [/mm] indem ich Spalten und Zeilen nacheinander streiche und sozusagen die Determinanten der Untermatrizen berechne. Heißt also zum Beispiel, für den ersten Eintrag, die erste zeile und Spalte und von der stehenbleibenden Matrix die Determinante. Verstehst du was ich meine? Das muss falsch sein, oder ich mache da einen Fehler. Da es schlecht zu schreiben ist, hier eben das Ergebnis dieses Verfahrens ( hab es nochmal langsam nebenher gemacht) [mm] \pmat{ 13 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 } [/mm] so wenn ich die transponiere komme ich auf [mm] \pmat{ 13 & 2 & -3 \\ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 } [/mm] und damit dann am ende auf [mm] \pmat{ \bruch{-13}{2} & -1 & \bruch{3}{2} \\ -2 & 0 & 1 \\ \bruch{-1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} }
[/mm]
okay, das ist jetzt was anderes als vorhin. Mh. So, beim weitterrechnen kommt damit aber auch keine Diagonalmatrix raus. Anscheinend mache ich was falsch. Könntest du mir vielleicht erklären wie man genau die Inverse berechnet, denn es ist ja offensichtlich das Problem bei mir. Das wäre echt nett.
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> Mh, also die Formel ist ja [mm]S^{-1}= \bruch{(S^{adj})^T}{det S}[/mm]
> oder?
Hallo,
ohne die Transposition, oer bin ich gerade wirr?
Die Adjunkte zu berechnen habe ich gerade nicht so viel Lust, das sind mir zu viele determinanten für heut abend.
Ich mache das immer mit dem Gaußalgorithmus, ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)] wird's vorgemacht, da drunter kannst Du Dir das mit der Adjunkten auch nochmal anschauen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 24.05.2009 | | Autor: | chipbit |
Ach ja, das geht ja auch. Na ich werde das nochmal damit versuchen. Danke für deine Hilfe.
Schönen Abend noch,
LG, chip
Irgendwie klappt das immernoch nicht, aber ich gebs jetzt auch einfach mal auf. Im Grunde ist das Ergebnis immer ähnlich, aber ich komme damit nie auf eine Diagonalmatrix. Tja, egal.
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