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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Diagonalisieren
Diagonalisieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diagonalisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:43 Do 07.10.2010
Autor: folken

Hallo habe eine allgemeine Frage zum Diagonalisieren:

Wann muss ich die Eigenvektoren normieren, wenn ich Diagonalisiere oder wenn ich unitär Diagonalisiere oder muss ich generell nicht normieren.

        
Bezug
Diagonalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Do 07.10.2010
Autor: wieschoo

Grundsätzlich:
orthogonalisierst du, falls du eine Orthogonalbasis brauchst.
orthonormierst du, falls du eine ONB brauchst.

Für [mm]S^{-1}AS=D[/mm] brauchst du nicht normieren.

im Reellen:
Für [mm]S^{T}AS=D[/mm] mit [mm]S^{T}=S^{-1}[/mm], (d.h. S ist orthogonal) musst du orthogonalisieren und normieren.

im Komplexen:
Falls du eine unitäre Matrix S suchst, dann müssen die EV normiert und orthogonalisiert werden.


Bezug
                
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Diagonalisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Do 07.10.2010
Autor: folken

Bedeutet das, wenn S orthogonal oder unitär ist, muss ich normieren, ansonsten nicht?

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Diagonalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Do 07.10.2010
Autor: wieschoo

Du solltest schon ab und zu genauer in Bücher oder Scripte schauen.

Suchst du irgend eine Transformationsmatrix musste nichts machen.
Suchst du eine unitäre Transf-Mat. dann schaue dir Definition von unitärer Matrix an.
[]Wikipedia: unitäre Matrizen
[]Wikipedia: orthogonale Matrizen

Bei orthogonalen (bzw. unitären) Matrizen bilden die Vektoren in den Spalten eine ONB vom [mm] $\IR^n$. [/mm] In den Spalten stehen die EV.
--> orthogonalisieren + normieren

kurz: deine Erkenntnis ist richtig.


Bezug
                                
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Diagonalisieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:34 Do 07.10.2010
Autor: folken

Danke für die Antwort.

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Diagonalisieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Do 07.10.2010
Autor: felixf

Moin!

> Grundsätzlich:
>  orthogonalisierst du, falls du eine Orthogonalbasis
> brauchst.
>  orthonormierst du, falls du eine ONB brauchst.

Man sollte natuerlich beachten, dass die Orthogonalbasis/ONB im allgemeinen nur noch zum Teil aus Eigenvektoren besteht. Damit es eine Orthogonalbasis/ONB aus Eigenvektoren gibt, muss die Matrix []normal sein.

Normieren alleine dagegen schadet nicht. Nur bringt einem das nicht viel (ohne zusaetzliche Orthogonalitaet), ausser dass die Koeffizienten nachher meist haesslicher aussehen ;-)

LG Felix


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