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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo.
Wollte als kleine Fingerübung die Abbildungsmatrix des Endomorphismus [mm] \alpha: [/mm] v |--> v A ,
mit A= [mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 3 } [/mm]
diagonalisieren.
Vorgehen:
Eigenwerte bestimmen: [mm] \lambda_{1}=5, \lambda_{2}=-1.
[/mm]
Eigenräume:
[mm] Eig(\alpha, [/mm] 5)= Span(1/2 , 1)
[mm] Eig(\alpha, [/mm] -1)= Span(-1,1)
Nachgerechnet --> stimmt.
Überall im Netz findet man nun das Vorgehen:
[mm] D=\pmat{ 5 & 0 \\ 0 & -1 }=T^{-1}AT
[/mm]
Mit T als Matrix, die die Eignevektoren in den Spalten hat.
Also [mm] T=\pmat{ 1/2 & -1 \\ 1 & 1 }.
[/mm]
Dann ist [mm] T^{-1}=\pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3} & \bruch{1}{3} }
[/mm]
Wenn ich aber das Matrixprodukt ausführe, kommt nicht D raus.
Ist etwas an dem Vorgehen falsch?
Vielleicht weil meine Abbildung (x,y)A ist und nicht [mm] A\vektor{x \\ y} [/mm] wie sonst überall im Netz?
Muss ich die Eigenvektoren bei mir vielleicht in die Zeilen schreiben?
Bei meiner letzten Aufgabe dieser Art hat es aber so geklappt, ich kapier das nicht.
Oder hab ich mich nur wieder 100 mal verrechnet??
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Ich komme auf das richtige Ergebnis, wenn ich meine Eigenvektoren in die Zeilen von [mm] T^{-1} [/mm] schreibe.
Aber ich habe hier auch eine Aufgabe, wo es nicht nur so funktioniert, sondern eben auch wie oben beschreiben, dass die Eigenvektoren in die Spalten von T kommen.
So wie es im Netz immer ist.
Vielleicht muss ich die Vektoren immer die Zeilen von [mm] T^{-1} [/mm] schreiben und bei der einen Aufgabe war es nur Zufall, dass es auch anders ging?
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> Hallo.
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> Wollte als kleine Fingerübung die Abbildungsmatrix des
> Endomorphismus [mm]\alpha:[/mm] v |--> v A ,
>
> mit A= [mm]\pmat{ 1 & 4 \\ 2 & 3 }[/mm]
>
> diagonalisieren.
>
> Vorgehen:
> Eigenwerte bestimmen: [mm]\lambda_{1}=5, \lambda_{2}=-1.[/mm]
>
> Eigenräume:
> [mm]Eig(\alpha,[/mm] 5)= Span(1/2 , 1)
> [mm]Eig(\alpha,[/mm] -1)= Span(-1,1)
>
> Nachgerechnet --> stimmt.
>
> Überall im Netz findet man nun das Vorgehen:
>
> [mm]D=\pmat{ 5 & 0 \\ 0 & -1 }=T^{-1}AT[/mm]
>
> Mit T als Matrix, die die Eignevektoren in den Spalten
> hat.
>
> Also [mm]T=\pmat{ 1/2 & -1 \\ 1 & 1 }.[/mm]
> Dann ist [mm]T^{-1}=\pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3} & \bruch{1}{3} }[/mm]
>
>
> Wenn ich aber das Matrixprodukt ausführe, kommt nicht D
> raus.
Hallo,
bei mir kommt die Diagonalmatrix heraus.
> Ist etwas an dem Vorgehen falsch?
Eigentlich nicht.
> Vielleicht weil meine Abbildung (x,y)A ist und nicht
> [mm]A\vektor{x \\ y}[/mm] wie sonst überall im Netz?
Ogottogott - einen Prof der "so rum" war, hatte ich auch mal vor Urzeiten.
Bei einigen Themen hat die ganze Literatur nicht recht gepaßt und man war einem Drehwurm nah...
> Muss ich die Eigenvektoren bei mir vielleicht in die
> Zeilen schreiben?
Ja, da bin ich mir ziemlich sicher.
Ich glaube, Du mußt auch die Matrizen in genau der anderen Reihenfolge hinscheiben.
Versuch das mal - mir wid schwindelig, wenn ich beginne, daüber genauer nachzudenken.
LG Angela
> Bei meiner letzten Aufgabe dieser Art hat es aber so
> geklappt, ich kapier das nicht.
>
> Oder hab ich mich nur wieder 100 mal verrechnet??
>
>
> Gruß
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo Angela,
d.h., bei Dir klappt es auch nur wie beschrieben, wenn man [mm] A\vektor{x \\ y} [/mm] benutzt?
Ja, ich muss wohl beides tauschen.
Ist [mm] D=T^{-1}AT, [/mm] so muss in [mm] T^{-1} [/mm] in jeder Zeile ein Eigenvektor stehen, dann passt es...
Das ist wirklich doof, weil man bei sämtlichen Tutorien im Netz oder in Büchern erstmal schauen muss, ob man da was variieren muss.
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> Hallo Angela,
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> d.h., bei Dir klappt es auch nur wie beschrieben, wenn man
> [mm]A\vektor{x \\ y}[/mm] benutzt?
Hallo,
wenn ich so rechne, wie es für mich seit meinem 3.Studiensemester "normal" ist, klappt alles perfekt.
Das andere habe ich nicht versucht -
aber da bei Euch alles in der anderen Richtung stattfindet,
mußt Du die "normal berechneten" Matrizen transponieren und genau andersrum anordnen.
Dann sollte es klappen.
>
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> Ja, ich muss wohl beides tauschen.
> Ist [mm]D=T^{-1}AT,[/mm] so muss in [mm]T^{-1}[/mm] in jeder Zeile ein
> Eigenvektor stehen, dann passt es...
Genau.
>
> Das ist wirklich doof, weil man bei sämtlichen Tutorien im
> Netz oder in Büchern erstmal schauen muss, ob man da was
> variieren muss.
Ja, ich weiß...
Es war fürchterlich und hat es mir kleinem Licht damals fast unmöglich gemacht, andere Literatur als das Büchlein meines Profs zu verwenden.
Ich hab mich danach zügig umgepolt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Ich danke Dir!
Schönen Abend noch!
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