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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Sei A= [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ -1 & 4 }
[/mm]
Bestimme S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Jordannormalform hat.
Berechne [mm] S^{-1} [/mm] |
Ich habe den Eigenwert der Matrix bestimmt(=2) aber was mache ich nun?
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Hallo Zorba,
> Sei A= [mm]\pmat{ 0 & 4 \\ -1 & 4 }[/mm]
> Bestimme S, so dass
> [mm]S^{-1}AS[/mm] Jordannormalform hat.
> Berechne [mm]S^{-1}[/mm]
> Ich habe den Eigenwert der Matrix bestimmt(=2) aber was
> mache ich nun?
Einen Eigenvektor zum Eigenwert 2 bestimmen.
Das machst Du mit der Gleichung: [mm]\left(A-2*I\right)*\pmat{x \\ y}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Hmm aber was bringt mir der EV denn? Was mach ich dann damit?
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Hallo Zorba,
> Hmm aber was bringt mir der EV denn? Was mach ich dann
> damit?
Der Eigenvektor ist Teil der gesuchten Matrix.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Hmm und die anderen Teile der Matrix sind dann andere Eigenvektoren?
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Hallo Zorba,
> Hmm und die anderen Teile der Matrix sind dann andere
> Eigenvektoren?
Das sind entweder Eigenvektoren 1. oder höherer Stufe.
Die Eigenvektoren höherer Stufe lassen sich aus dem Gleichungssytem
[mm]\left(A-\lambda*I\right)^{k}*\overrightarrow{ev}=0[/mm]
,wobei [mm]\lambda[/mm] der Eigenwert und [mm]\overrightarrow{ev}[/mm] der zugehörige Eigenvektor k. Stufe ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Ok danke schonmal:
Das heisst ich muss jetzt [mm] ker(A-\lambda [/mm] I)² berechnen?
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Hallo Zorba,
> Ok danke schonmal:
> Das heisst ich muss jetzt [mm]ker(A-\lambda[/mm] I)² berechnen?
Ja, in der Regel macht das so.
Ich, persönlich, mach das etwas anders:
Aus der Gleichung [mm]\left(A-\lambda*I\right)*\overrightarrow{ev_{1}}=0[/mm] ergibt sich der Eigenvektor 1. Stufe [mm]\overrightarrow{ev_{1}}[/mm].
Um jetzt einen Eigenvektor 2. Stufe zu berechnen. gilt ja:
[mm]\left(A-\lambda*I\right)^{2}*\overrightarrow{ev_{2}}=0[/mm]
[mm]\gdw \left(A-\lambda*I\right)*\left(A-\lambda*I\right)*\overrightarrow{ev_{2}}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(A-\lambda*I\right)*\overrightarrow{ev_{2}}=\overrightarrow{ev_{1}}[/mm]
Damit bekomme ich auch den Eigenvektor 2. Stufe [mm]\overrightarrow{ev_{2}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Ja das ist einleuchtend, ich werds auch so machen.
Kannst du mir noch den Unterschied dazu erklären, wie man ein S bestimmt, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalform hat?
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Hallo Zorba,
> Ja das ist einleuchtend, ich werds auch so machen.
> Kannst du mir noch den Unterschied dazu erklären, wie man
> ein S bestimmt, so dass [mm]S^{-1}AS[/mm] Diagonalform hat?
Berechne Eigenwerte der Matrix A.
Um dieses zu ermitteln, muß das charakteristische Polynom ausgewertet werden. Ein Eigenwert hat die algebraische Vielfachheit r, wenn dieser Eigenwert r-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Berechne sodann die Eigenvektoren zu jedem Eigenwert.
Aus der Gleichung [mm]\left(A-\lambda*I\right)*\overrightarrow{ev}=0[/mm]
ergibt sich die geometrische Vielfachheit, dies entspricht [mm]dim \ Kern\left(A-\lambda*I\right)[/mm].
Ist nun für jeden Eigenwert die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit, so ist die Matrix A diagonalisierbar.
Die Matrix S besteht aus den Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerten.
Es ist üblich, die Eigenvektoren zu normieren, d.h. der Eigenvektor hat nach der Normierung den Betrag 1.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
> Die Matrix S besteht aus den Eigenvektoren zu den
> entsprechenden Eigenwerten.
Aber ist das nicht dann wieder genau die Matrix S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Jordannormalform hat?
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> > Die Matrix S besteht aus den Eigenvektoren zu den
> > entsprechenden Eigenwerten.
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> Aber ist das nicht dann wieder genau die Matrix S, so dass
> [mm]S^{-1}AS[/mm] Jordannormalform hat?
Hallo,
wenn die Matrix A diagonalisierbar ist, ist ihre JNF ja auch diese Diagonalmatrix.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Aaah wie doof von mir, danke!!
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