Diagonalisierung einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 13.12.2004 | | Autor: | nadine19 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
kaum glaubt man etwas verstanden zu haben, kontert die Mathematik schon mit einem weiteren Boxschlag. Gehts noch jemanden so?  Ich stecke leider bei folgender Aufgabe fest:
Man diagonalisiere die Matrix A, d.h. man bestimmte eine Matrix C so, dass [mm] C^{-1}*A*C [/mm] = D gilt,
wobei D eine Diagonalmatrix ist.
A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3\\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 1 }
[/mm]
Als Determinante bekomme ich: [mm] -\lambda^{3} [/mm] + [mm] 2*\lambda^{2} [/mm] - [mm] 20*\lambda [/mm] + 24
Als Eigenwerte und Lösungen für:
[mm] -\lambda^{3} [/mm] + [mm] 2*\lambda^{2} [/mm] - [mm] 20*\lambda [/mm] + 24 = 0 erhalte ich:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 6 [mm] \lambda_2 [/mm] = -2 und [mm] \lambda_3 [/mm] = -2 raus.
Für [mm] \lambda [/mm] = -2 erhalte ich die Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 3\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3}, [/mm] also nach Gauß'sche Elimination:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} [/mm] und der entsprechende Eigenvektor hierzu wäre dann meiner Meinung nach:
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Für [mm] \lambda [/mm] = 6:
[mm] \pmat{ 5 & 3 & 3\\ 2 & -6 & 2\\ 3 & 3 & -5}
[/mm]
Was mich auch etwas unabgeholt dastehen lässt, da ich so die Eigenwerte mit meiner üblichen Methode (hinschauen u. raten) nicht mehr finden kann. *gg* Aber nach ein bisschen herumspielen und Gleichung auflösen zu versuchen bekomme ich einen Eigenvektor von:
[mm] \vektor{1 \\ \bruch{2}{3} \\ 1}
[/mm]
D.h. meine Matrix C hätte die Form:
[mm] \pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
(Woher weiß ich an dieser Stelle, dass ich die Eigenvektoren in der richtigen Reihenfolge in C plaziert habe? Ist das belanglos?)
Und hier bin ich dann letztendlich vollkommen ratlos, denn es stellt sich heraus, dass ich [mm] C^{-1}*A*C [/mm] gar nicht berechnen kann, weil mein C eine singuläre Matrix ist!
Puh, Hilfe! Ich weiß echt nicht mehr weiter... Was habe ich falsch gemacht? Der Kopf raucht, die Zettel sind vollgeschrieben, aber alles falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Jerry77 |
Hallo,
kann es sein das an deiner Matrix A was fehlt ( quadratisch wär nett) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Mo 13.12.2004 | | Autor: | nadine19 |
Hi,
sorry - muß mich beim pmat-Formelisieren wohl vertan haben...hast natürlich Recht!
Die Matrix A vollständig:
A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3\\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 1 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Di 14.12.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
>
> Man diagonalisiere die Matrix A, d.h. man bestimmte eine
> Matrix C so, dass [mm]C^{-1}*A*C[/mm] = D gilt,
> wobei D eine Diagonalmatrix ist.
>
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 3\\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 1 }
[/mm]
>
>
>
>
>
> Als Determinante bekomme ich: [mm]-\lambda^{3}[/mm] + [mm]2*\lambda^{2}[/mm]
> - [mm]20*\lambda[/mm] + 24
Also Maple gibt mir [mm] $t^3-2t^2-20t-24$ [/mm] aus, du musst also einen kleinen Fehler haben, beim weiterrechnen stimmt es nämlich wieder.
>
> Als Eigenwerte und Lösungen für:
> [mm]-\lambda^{3}[/mm] + [mm]2*\lambda^{2}[/mm] - [mm]20*\lambda[/mm] + 24 = 0 erhalte
> ich:
> [mm]\lambda_1[/mm] = 6 [mm]\lambda_2[/mm] = -2 und [mm]\lambda_3[/mm] = -2
> raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die stimmen auf jeden Fall.
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = -2 erhalte ich die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 3\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3},[/mm] also nach
> Gauß'sche Elimination:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}[/mm] und der
> entsprechende Eigenvektor hierzu wäre dann meiner Meinung
> nach:
> [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Hier kann etwas nicht stimmen: Du sollst dein A diagonalisieren. Der Eigenwert -2 kommt in der Vielfachheit 2 vor. Das bedeutet, dass die Dimension des Eigenraumes 2 verlangen muss, für die Diagonalisierung. Ein Vektor spannt aber nur einen Eigenraum der Dimension 1 auf. Schaue dir noch einmal deine Matrix an:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}\cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Also: [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$ nach der ersten Gleichung.
Jetzt wähle eine Komponente aus, z.B. die erste. Wie muss ich jetzt die anderen beiden wählen? Wo kann ich was verändern und was muss ich beachten? Nun, ich brauche zwei linear unabhängige Vektoren. Zunächst wähle ich die [mm] $x_1$-Komponente [/mm] als 1. Wie muss ich jetzt [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] wählen, dass 0 rauskommt? Nun einmal setzte ich [mm] $x_2= [/mm] -1$ und [mm] $x_3 [/mm] = 0$ und erhalte den Vektor: [mm] $\vektor{1 \\ -1 \\ 0}$.
[/mm]
Als zweiten Vektor mache ich es mit [mm] $x_2 [/mm] $ und [mm] $x_3$ [/mm] genau umgekehrt: [mm] $x_3$ [/mm] ist jetzt -1 und [mm] $x_2$ [/mm] wird auf 0 gesetzt:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ -1}$.
[/mm]
Jetzt ist mein Eigenraum zu -2: $Eig(A,-2) = [mm] span(\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1})$.
[/mm]
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = 6:
>
> [mm]\pmat{ 5 & 3 & 3\\ 2 & -6 & 2\\ 3 & 3 & -5}
[/mm]
Du hast hier deine Matrix falsch aufgestellt. Das Element [mm] $a_{1,1}$ [/mm] muss -5 sein, z.B...
>
> Was mich auch etwas unabgeholt dastehen lässt, da ich so
> die Eigenwerte mit meiner üblichen Methode (hinschauen u.
> raten) nicht mehr finden kann. *gg* Aber nach ein bisschen
> herumspielen und Gleichung auflösen zu versuchen bekomme
> ich einen Eigenvektor von:
>
> [mm]\vektor{1 \\ \bruch{2}{3} \\ 1}
[/mm]
das sagt Maple auch. 
>
> D.h. meine Matrix C hätte die Form:
>
> [mm]\pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
Das ist nicht die gesuchte Matrix. Wie du siehst, ist die 2. und 3. Spalte gleich. Das darf nicht passieren. Mit den Basisvektoren die ich gewählt habe erhält man:
[mm]C= \pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{2}{3} & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1}[/mm]
Dann invertierst du die noch und du erhälst das [mm] $C^{-1}$. [/mm] Dann ist deine Diagonalmatrix $D= [mm] C^{-1} [/mm] A C$
>
>
> (Woher weiß ich an dieser Stelle, dass ich die
> Eigenvektoren in der richtigen Reihenfolge in C plaziert
> habe? Ist das belanglos?)
Im Prinzip ist die Wahl der Reihenfolge willkürlich. Es ist aber vorteilhaft, Eigenvektoren des gleichen Eigenwertes nebeneinander zu schreiben. Anderenfalls erhälst du aber auch eine Diagonalmatrix, wo eben nicht die Eigenwerte "nebeneinander" stehen auf der Hauptdiagonalen. Diese ist aber auch ähnlich zu jeder anderen Diagonalmatrix die ich aus A basteln kann und die Aufgabe des Diagonalisierens bleibt erfüllt.
>
> Und hier bin ich dann letztendlich vollkommen ratlos, denn
> es stellt sich heraus, dass ich [mm]C^{-1}*A*C[/mm] gar nicht
> berechnen kann, weil mein C eine singuläre Matrix ist!
Das ist eben weil du zwei gleiche Spaltenvektoren hattest! Darauf musst du achten, dass das nicht passieren darf. Ebenso verboten sind Vielfache oder Linearkombinationen, wenn du mehrere Vektoren des Kerns hast. Mit der jetzigen Matrix C sollte das nicht passieren.
Gruß Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 28.01.2005 | | Autor: | tjark |
Hallo!
Ich habe folgende Frage, die an nadines Frage anknüpft:
Und zwar ist ja das Ziel eine Diagonalmatrix zu bekommen!
Warum kann man nicht einfach mit den errechneten Eigenwerten die Diagonalmatrix aufstellen?
Also, hier waren ja die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] = -2 und [mm] \lambda [/mm] = 6!
Kann ich dann nicht daraus schließen, dass meine Diagonalmatrix
D = [mm] \pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
ist??? Dann bräuchte ich doch gar nicht die Eigenvektoren berechnen und die Inverse von C!
Vielen Dank im Voraus,
Gruß Tjark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Fr 28.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe folgende Frage, die an nadines Frage anknüpft:
>
> Und zwar ist ja das Ziel eine Diagonalmatrix zu bekommen!
>
> Warum kann man nicht einfach mit den errechneten
> Eigenwerten die Diagonalmatrix aufstellen?
>
> Also, hier waren ja die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] = -2 und
> [mm]\lambda[/mm] = 6!
>
> Kann ich dann nicht daraus schließen, dass meine
> Diagonalmatrix
>
> D = [mm]\pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
>
>
> ist???
wenn es nur darum geht die diagonal-matrix aufzustellen und man sicher ist, dass man richtig gerechnet hat: ja. ansonsten ist es eben eine gute kontrolle der rechnung, wenn man [m]D = C^{-1} A C [/m] prüft!
> Dann bräuchte ich doch gar nicht die Eigenvektoren
> berechnen und die Inverse von C!
also es war ja gerade teil der aufgabe die matrix $C$ zu berechnen, dafür braucht man ja die eigenvektoren, aber die inverse wäre wirklich unnötig, wenn man nur die aufgabe bearbeiten will.
grüße
andreas
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