Diagonalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Sa 04.02.2006 | | Autor: | ddevil |
| Aufgabe | Sei $A= [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 &3 \\ 1 & 3 & 2}$.
[/mm]
Bestimme eine Matrix [mm] $B\in M(3\times 3,\IR)$, [/mm] sodass [mm] $A=B^{2}$.
[/mm]
Hinweis: Diagonalisiere $A$ zunächst, d.h. finde ein invertierbares $T$ mit [mm] $TAT^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} }$, [/mm] wobei [mm] $\lambda_{1},\ldots, \lambda_{3}$ [/mm] die Eigenwerte von $A$ sind. |
Die Matrix T habe ich mit Hilfe des Spektralsatzes und der Hauptachsentransformation bestimmt und die dürfte auch richtig sein. Aber wie muss ich dann weiter machen. Ich habe schon lange überlegt, aber ich bin noch auf keine Lösung gekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 04.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dann wähle als B:
[mm] $B=T^{-1} *\pmat{ \wurzel{ \lambda_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \wurzel{ \lambda_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{ \lambda_{3}} } [/mm] *T $
denn dann ist [mm] $B^2=B*B$ [/mm] - eingesetzt:
[mm] $B^2= T^{-1} *\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} } [/mm] *T$
und wenn du dann $ [mm] TAT^{-1}= \pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} } [/mm] $ einsetzt, kommt gerade A heraus.
viele Grüße
DaMenge
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