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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | | Für die Matrix A= [mm] \pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 } [/mm] zeige man [mm] cp_{A} [/mm] = [mm] (x-3)^{2} [/mm] (x+3) und bestimme man ein P [mm] \in [/mm] O(3), so dass [mm] P^{-1}AP [/mm] eine Diagonalmatrix ist |
Hallo,
also das mit dem [mm] cp_{A} [/mm] zeigen habe ich geschafft. Leider habe ich absolut keinen Ansatz für den zweiten Aufgabenteil. Also O(n) ist die Menge der orthogonalen Matrizen. Und für orthogonale Matrizen gilt ja [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] P^{t} [/mm] . Also müsste ja gelten [mm] P^{t}AP, [/mm] oder? Aber weiter? Ui, ich bin überfordert :(
gruß Elfe
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> Für die Matrix A= [mm]\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 }[/mm]
> zeige man [mm]cp_{A}[/mm] = [mm](x-3)^{2}[/mm] (x+3) und bestimme man ein P
> [mm]\in[/mm] O(3), so dass [mm]P^{-1}AP[/mm] eine Diagonalmatrix ist
> Hallo,
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> also das mit dem [mm]cp_{A}[/mm] zeigen habe ich geschafft. Leider
> habe ich absolut keinen Ansatz für den zweiten
> Aufgabenteil. Also O(n) ist die Menge der orthogonalen
> Matrizen. Und für orthogonale Matrizen gilt ja [mm]P^{-1}[/mm] =
> [mm]P^{t}[/mm] . Also müsste ja gelten [mm]P^{t}AP,[/mm] oder? Aber weiter?
> Ui, ich bin überfordert :(
Hallo,
die Eigenwerte kannst Du ablesen.
Bestimme nun die zugehörigen Eigenvektoren.
Wenn Du diese als Basis eines neuen Koordinatensystems nimmst, und A entsprechend transformierst, hat die entstehende Matrix bereits Diagonalgestalt - aber die Transformationsmatrix wird i.a. nicht orthogonal sein.
Um das zu erreichen, mußt Du die Eigenvektoren noch orthonormieren. Der Aufwand ist gering, denn Deine Matrix ist symmetrisch, also sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten bereits automatisch orthogonal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
ich muss erstmal vorweg nehmen: ich bin ein totaler LA-Idiot! Also ich versteh da einfach gar nichts! :(
>
>
> die Eigenwerte kannst Du ablesen.
>
> Bestimme nun die zugehörigen Eigenvektoren.
>
Die Eigenvektoren habe ich bestimmt. Ich stell sie mal rein, vielleicht sind sie ja doch falsch:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} \vektor{ 2 \\ 0 \\ 1 } \vektor{ 1 \\ 1 \\ -2 }
[/mm]
> Wenn Du diese als Basis eines neuen Koordinatensystems
> nimmst, und A entsprechend transformierst, hat die
> entstehende Matrix bereits Diagonalgestalt - aber die
> Transformationsmatrix wird i.a. nicht orthogonal sein.
Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung von welchem Koordinatensystem du redest. Also ich hatte das nie im Zusammenhang mit LA. Kannst du mir also vielleicht nochmal Schritt für Schritt erklären, was ich danach machen muss? Ich brauch echt eine Anleitung :-(
>
> Um das zu erreichen, mußt Du die Eigenvektoren noch
> orthonormieren. Der Aufwand ist gering, denn Deine Matrix
> ist symmetrisch, also sind die Eigenvektoren zu
> verschiedenen Eigenwerten bereits automatisch orthogonal.
>
> Gruß v. Angela
>
Gruß Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Du musst einfach eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bestimmen. Soetwas gibt es im Allgemeinen nicht, aber in diesem Fall schon.
Die Eigenvektoren hast du, jetzt könntest du darauf den Gramschmidtalgorithmus anwenden. Aber wie Angela schon gesagt hat, stehen die Eigenvektoren schon senkrecht aufeinander (das ist das, was im Allgemeinen nicht gilt), sodass du sie nur noch normieren musst.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
Okay, ich hab sie normiert... glaube ich zumindest. Kommen da Sachen mit [mm] \wurzel{2}, \wurzel{5} [/mm] und [mm] \wurzel{6} [/mm] raus? wenn nicht, dann bin ich immer noch nicht weiter! Und diese 3 normierten Vektoren bilden jetzt mein P ?
Danke schonmal für alles bisher!
Gruß Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Okay, ich hab sie normiert... glaube ich zumindest. Kommen
> da Sachen mit [mm]\wurzel{2}, \wurzel{5}[/mm] und [mm]\wurzel{6}[/mm] raus?
Also wenn die Eigenvektoren stimmen, dann kommen da solche Sachen raus 
> Und diese 3 normierten Vektoren bilden jetzt mein P ?
Ja. Du kannst ja mal die Probe machen und $P^tAP$ ausrechnen. Für mich ist es jedes mal ein Wunder dass es überhaupt klappt. ^^
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
okay, bei mir kommt leider keine Diagonalmatrix raus :(
Bei mir kommt eine symmetrische Matrix raus, aber keine Diagonalmatrix. Was habe ich denn falsch gemacht? Sind die Eigenvektoren vielleicht doch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok ich habe einen Fehler gemacht. Deine Eigenvektoren stimmen alle, und du hast auch richtig normiert, aber du musst vorher noch die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert $3$ mit Gram-Schmidt orthogonalisieren. Bei symmetrischen Matrizen stehen nämlich die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer senkrecht (bzgl. des Standartskalarproduktes) aufeinander, aber Eigenvektoren zu ein und demselben Eigenwert i.A. nicht.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
dankeschön, jetzt hab ichs :)
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