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| Aufgabe | [mm] A=\begin{pmatrix}a & b\\
0 & c\end{pmatrix},\, a\neq [/mm] c.
Gesucht: Invertierbare Matrix P, sodass [mm] P^{-1}AP [/mm] Diagonalmatrix ist. |
Hallo,
es muss gelten: [mm] P^{-1}AP=D:=\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & c\end{pmatrix}. [/mm] Das ist äquivalent zu: AP=PD.Setze [mm] P=\begin{pmatrix}h & i\\
k & l\end{pmatrix}.Dann AP=\begin{pmatrix}ah+bk & ai+bl\\
kc & cl\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ha & ic\\
ka & lc\end{pmatrix}=PD.Dann [/mm] ist [mm] kc=ka\Rightarrow [/mm] k=0. Für alles andere kriege ich aber nur Abhängigkeiten raus. Dachte mir, dass ich einfach eine Variable =1 setze, etwa l=1, das half allerdings auch nicht.Was muss ich noch machen? Muss ich verwenden, dass [mm] det(P)\neq0 [/mm] ist, da P invertierbar? Aber das hilft mir irgendwie auch nicht. Wie muss mein Endergebnis aussehen, also mein P? Das sollte dann doch auch eine Matrix sein, in der die Werte a,b,c vorkommen, nicht wahr?Gruß Sleeper
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> [mm]A=\begin{pmatrix}a & b\\
0 & c\end{pmatrix},\, a\neq[/mm] c.
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> Gesucht: Invertierbare Matrix P, sodass [mm]P^{-1}AP[/mm]
> Diagonalmatrix ist.
> Hallo,
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> es muss gelten: [mm]P^{-1}AP=D:=\begin{pmatrix}a & 0\\
0 & c\end{pmatrix}.[/mm]
> Das ist äquivalent zu: AP=PD.Setze [mm]P=\begin{pmatrix}h & i\\
k & l\end{pmatrix}.Dann AP=\begin{pmatrix}ah+bk & ai+bl\\
kc & cl\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ha & ic\\
ka & lc\end{pmatrix}=PD.Dann[/mm]
> ist [mm]kc=ka\Rightarrow[/mm] k=0. Für alles andere kriege ich aber
> nur Abhängigkeiten raus.
Hallo,
ja, und das ist nicht verwunderlich, Du wirst es gleich sehen.
Du fädelst die Lösung dieser Aufgabe etwas ungeschickt ein, weil Du auf Kenntnisse verzichtest, die Du bereits hast.
Die Aufgabe ist hier ja, zu diagonalisieren.
Also bestimmst Du die Eigenwerte und anschließend berechnest Du wie immer in diesen Fällen eine Basis aus Eigenvektoren.
(Jetzt sollte Dir aufgehen, warum Du zu keinem eindeutigen Ergebnis kommst.)
> Das sollte dann doch auch eine Matrix sein, in
> der die Werte a,b,c vorkommen, nicht wahr?
Ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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