Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 27.12.2011 | | Autor: | diecaro |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Matrix B, so dass B^(-1)AB eine Diagonalmatrix ist, dabei sei [mm] A=\pmat{ 1 & 3 & 6\\ -3 & -5 & -6 \\ 3 & 3 & 4 } \in \IR^{3\times3} [/mm] |
Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
Also ich dachte mir ich suche erstmal das charakteristische Polynom, dieses ist bei mir: [mm] -\lambda^3+12*\lambda+16 [/mm]
und suche von diesem die Nullstellen, also die Eigenwerte. Diese sind bei mir 4 und -2
Durch diese komme ich erstmal auf die Diagonalmatrix aber da bin ich mir dann nicht sicher was an welche Stelle kommt. Mit Hilfe der Eigenwerte wollte ich dann die Eigenvektoren berechenen aus denen ich dann B zusammenstellen wollte. Aber das klappt absolut nicht bei mir.
Entweder gehe ich komplett falsch vor oder ich habe mich verrechnet.
Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Grüße Caro
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Hallo Caro,
> Bestimmen Sie eine Matrix B, so dass B^(-1)AB eine
> Diagonalmatrix ist, dabei sei [mm]A=\pmat{ 1 & 3 & 6\\
-3 & -5 & -6 \\
3 & 3 & 4 } \in \IR^{3\times3}[/mm]
>
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
>
> Also ich dachte mir ich suche erstmal das charakteristische
> Polynom, dieses ist bei mir: [mm]-\lambda^3+12*\lambda+16[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und suche von diesem die Nullstellen, also die Eigenwerte.
> Diese sind bei mir 4 und -2
Richtig! Und $-2$ ist doppelter Eigenwert.
> Durch diese komme ich erstmal auf die Diagonalmatrix aber
> da bin ich mir dann nicht sicher was an welche Stelle
> kommt.
Das hängt davon ab, wie du im Weiteren in der transformierenden Matrix die zugeh. Eiganvektoren "verteilst"
Erstmal musst du zu den Eigenwerten die zugeh. Eigenräume bestimmen.
Nur, wenn der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=-2$ [/mm] auch die Dimension 2 hat (Stichwort: algebr. Vielfachheit = geometr. Vielfachheit), ist die Matrix überhaupt diagonalisierbar!
> Mit Hilfe der Eigenwerte wollte ich dann die
> Eigenvektoren berechenen
Jo!
> aus denen ich dann B
> zusammenstellen wollte. Aber das klappt absolut nicht bei
> mir.
> Entweder gehe ich komplett falsch vor oder ich habe mich
> verrechnet.
Das Vorgehen hört sich vernünftig an.
Es scheint an der Berechnung der Eigenräume (bzw. der entspr. Eigenvektoren) zu hapern.
Zeige mal deine Rechnung dazu ...
> Ich hoffe jemand kann mir helfen.
>
> Grüße Caro
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 27.12.2011 | | Autor: | diecaro |
Hey, schonmal vielen Dank für die schnelle Hilfe
Also ich wollte die Eigenvektoren dann so bestimmen:
[mm] (A-\lambda*E)*x=0
[/mm]
in diese Gleichung habe ich dann einmel -2 eingesetzt, also so:
[mm] (\pmat{ 1 & 3 & 6\\ -3 & -5 & -6 \\ 3 & 3 & 4} [/mm] - [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2})*x=0
[/mm]
= [mm] \pmat{ -1 & 3 & 6\\ -3 & -7 & -6 \\ 3 & 3 & 2}*x=0
[/mm]
und wenn ich dieses Gleichungssystem auflöse kommt dann für x=(0,0,0) raus, und das ist doch falsch, oder?
und bei 4 dann im prinzip das selbe...
Und dann habe ich noch eine Frage zu dem Thema Dimension des Eigenraums, also wie komme ich auf diese?Iist das einfach die Dimension des Kerns?
lg
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Moin!
Bitte Rückfragen auch als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen ...
> Hey, schonmal vielen Dank für die schnelle Hilfe
>
> Also ich wollte die Eigenvektoren dann so bestimmen:
>
> [mm](A-\lambda*E)*x=0[/mm]
> in diese Gleichung habe ich dann einmel -2 eingesetzt,
> also so:
>
> [mm](\pmat{ 1 & 3 & 6\\
-3 & -5 & -6 \\
3 & 3 & 4}[/mm] - [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2})*x=0[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ -1 & 3 & 6\\
-3 & -7 & -6 \\
3 & 3 & 2}*x=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
-(-2)=+2
Richtig also [mm]\pmat{ 3 & 3 & 6\\
-3 & -3 & -6 \\
3 & 3 & 6}\cdot{}x=0[/mm]
Und hier siehst du direkt, dass du 2 Nullzeilen bekommst, also der Eigenraum 2-dimensional ist - so wie es schön sein soll.
Bestimme eine Basis dieses ER und nimm dir entsprechend 2 EV daraus her für deine transformierende Matrix
> und
> wenn ich dieses Gleichungssystem auflöse kommt dann für
> x=(0,0,0) raus, und das ist doch falsch, oder?
Ja, der Nullvektor ist per Def. nie Eigenvektor!
> und bei 4 dann im prinzip das selbe...
Das darf nicht sein, der Eigenraum zum Eigenwert 4 muss Dimension 1 haben ...
Du wirst da also eine Nullzeile erhalten müssen, ansonsten hast du dich verrechnet
>
> Und dann habe ich noch eine Frage zu dem Thema Dimension
> des Eigenraums, also wie komme ich auf diese?Iist das
> einfach die Dimension des Kerns?
Genau
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 28.12.2011 | | Autor: | diecaro |
okay, danke ich habe mein fehler jetzt erkannt.
also kommt dann für [mm] \lambda [/mm] = 4 der EV
x=a* [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] raus?
und für [mm] \lambda [/mm] = -2 der EV
[mm] x=\vektor{1+\alpha+2*\beta \\ \alpha \\ \beta} [/mm] raus, oder?
und dann setze ich für die variablen einfach beliebige Werte ein für meine transformierende Matrix?
also z.b. ist dann B= [mm] \pmat{ 6 & 9 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 } [/mm] oder?
vielen dank für die hilfe!
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Hallo nochmal,
> okay, danke ich habe mein fehler jetzt erkannt.
> also kommt dann für [mm]\lambda[/mm] = 4 der EV
> x=a* [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
0}[/mm] raus?
>
> und für [mm]\lambda[/mm] = -2 der EV
> [mm]x=\vektor{1+\alpha+2*\beta \\
\alpha \\
\beta}[/mm] raus,
> oder?
Das musst du nochmal nachrechnen bzw. hier vorrechnen.
Die Matrizen sind doch einfach in ZSF zu bringen.
Zeige mal beide Zeilenstufenformen her (also für beide EW)
>
> und dann setze ich für die variablen einfach beliebige
> Werte ein für meine transformierende Matrix?
Ja, irgendein Vektor aus dem Eigenraum (bzw. 2 linear unabh. im Falle [mm] $\lambda=-2$ [/mm] sind passende Eigenvektoren (sofern du nicht gerade den Nullvektor nimmst)
Diese drei Eigenvektoren stopfst du dann als Spaltenvektoren in die transformierende Matrix.
> also z.b. ist dann B= [mm]\pmat{ 6 & 9 & -1 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 0 }[/mm]
> oder?
>
> vielen dank für die hilfe!
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 28.12.2011 | | Autor: | diecaro |
oh bei [mm] \lambda=4 [/mm] habe ich ein vorzeichenfehler, sorry.
der EV ist dann [mm] x=a*\vektor{0 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
und die ZSF von [mm] \lambda=-2 [/mm] sieht bei mir so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
sorry das ich so schwer von begriff bin...
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Hallo nochmal,
> oh bei [mm]\lambda=4[/mm] habe ich ein vorzeichenfehler, sorry.
> der EV ist dann [mm]x=a*\vektor{0 \\
-2 \\
1}[/mm]
*Ich* erhalte als mögliche EVen [mm]x=t\cdot{}\vektor{1\\
-1\\
1}[/mm], also für [mm]t=1[/mm] etwa [mm]\vektor{1\\
-1\\
1}[/mm]
Also insbesondere in der 1.Komponente nicht 0
Nur maximal einer von uns beiden kann recht haben 
Da es deine Aufgabe ist, schlage ich vor, du postest nochmal die Matrix [mm]A-\lambda\cdot{}\matbb{E}_3[/mm] und zeigst deine Rechenschritte bis zur ZSF ...
>
> und die ZSF von [mm]\lambda=-2[/mm] sieht bei mir so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
Damit hast du 2 frei Wählbare Parameter, etwa [mm]x_3=t, x_2=s[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Mit Zeile 1 dann [mm]x_1=-x_2-2x_3=-s-2t[/mm]
Also hat ein EV die Form [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{-s-2t\\
s\\
t}=s\cdot{}\vektor{-1\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{-2\\
0\\
1}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Der Eigenraum zu [mm]\lambda=-2[/mm] wird also von den beiden Vektoren [mm]\vektor{-1\\
1\\
0}, \vektor{-2\\
0\\
1}[/mm] aufgespannt.
Die kannst du als EVen nehmen ...
>
> sorry das ich so schwer von begriff bin...
Nana, geh' mal nicht so hart mit dir ins Gericht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 28.12.2011 | | Autor: | diecaro |
okay.... jetzt wo ich es abtipp fällt mir schon wieder ein vorzeichenfehler auf... jetzt hab ich es auch raus :)
und dann kommt man letztendlich auf B= [mm] \pmat{ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
oder? :)
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Hallo diecaro,
> okay.... jetzt wo ich es abtipp fällt mir schon wieder ein
> vorzeichenfehler auf... jetzt hab ich es auch raus :)
> und dann kommt man letztendlich auf B= [mm]\pmat{ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> oder? :)
Ja, die Matrix B stimmt.
Gruss
MathePower
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