Diagonalmatrix bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 24.05.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Bestimme eine Diagonalmatrix D mit [mm]D=S^{-1}*A*S[/mm] |
Hallo, ich habe in meiner Rechnung irgendwie einen Fehler drin, ich komm aber nicht drauf wo.
Ich hoffe mir kann hier wer helfen!
Das char. Polynom ist [mm]t^{2}-t-1[/mm].
Die Eigenwerte sind also [mm] \bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Diagonalmatrix ist [mm]D:=\pmat{ \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 0 \\ 0 & \bruch{1-\wurzel{5}}{2} }[/mm]
Die Eigenvektoren sind [mm] \vektor{\bruch{1+\wurzel{5}}{2} \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ \bruch{1-\wurzel{5}}{2}}
[/mm]
Bestimme eine Diagonalmatrix D mit [mm]D=S^{-1}*A*S[/mm]
[mm]S:=\pmat{ \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 1 & \bruch{1-\wurzel{5}}{2} }[/mm]
[mm]A:=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
[mm]S^{-1}:=\pmat{ \bruch{-1+\wurzel{5}}{4} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-1-\wurzel{5}}{4} }[/mm]
Wenn ich jetzt aber [mm]D=S^{-1}*A*S[/mm] rechne komme ich nicht auf meine Diagonalmatrix [mm]D:=\pmat{ \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 0 \\ 0 & \bruch{1-\wurzel{5}}{2} }[/mm], sondern auf [mm]\pmat{ \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & \bruch{-1+\wurzel{5}}{2} \\ 0 & \bruch{1-\wurzel{5}}{2} }[/mm]
Findet jemand meinen Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Du hast da einen Dreher drin bei deinem 2ten Eigenvektor.
Er muss heißen [mm] \vektor{\bruch{1-\wurzel{5}}{2} \\ 1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 25.05.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | | Berechne [mm] A^{n} [/mm] mit Hilfe von $ [mm] D=S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm] $ und gebe eine explizite Darstellung der n-ten Fibonacci-Zahl. |
Ich brauche Hilfe bei dieser Teilaufgabe.
Ich kann $ [mm] D=S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S [/mm] $ umformen und erhalte [mm]A^{n}=S*D^{n}*S^{-1}[/mm]
Wobei [mm] D:=\pmat{ \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 0 \\ 0 & \bruch{1-\wurzel{5}}{2} }, S=\pmat{ \bruch{\wurzel{5}+1}{2} & \bruch{-\wurzel{5}+1}{2} \\ 1 & 1 } [/mm] und [mm] S^{-1}=\pmat{ \bruch{2\wurzel{5}}{10} & \bruch{5-\wurzel{5}}{10} \\ \bruch{-2\wurzel{5}}{10} & \bruch{5+\wurzel{5}}{10} }
[/mm]
[mm]A^{n}=S*D^{n}*S^{-1}[/mm]
[mm]A^{n}=\pmat{ \bruch{\wurzel{5}+1}{2} & \bruch{-\wurzel{5}+1}{2} \\ 1 & 1 }*\pmat{ (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} & 0 \\ 0 & (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n} }*\pmat{ \bruch{2\wurzel{5}}{10} & \bruch{5-\wurzel{5}}{10} \\ \bruch{-2\wurzel{5}}{10} & \bruch{5+\wurzel{5}}{10} }[/mm]
[mm]A^{n}=\pmat{ (\bruch{\wurzel{5}+1}{2})^{n+1} & (\bruch{-\wurzel{5}+1}{2})^{n+1} \\ (\bruch{\wurzel{5}+1}{2})^{n} & (\bruch{-\wurzel{5}+1}{2})^{n} }*\pmat{ \bruch{2\wurzel{5}}{10} & \bruch{5-\wurzel{5}}{10} \\ \bruch{-2\wurzel{5}}{10} & \bruch{5+\wurzel{5}}{10} }[/mm]
Der nächste Schritt wird jetzt eine recht komplizierte Matrix, ich kann mir nicht vorstellen, dass das so richtig ist. Hab ich irgendwo einen Fehler drin?
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also
[m]A=\left( \begin {array}{cc} 1&1\\ \noalign{\medskip}1&0\end {array}
\right)
[/m]
Stimmt alles sowei bis auf dein S, denn sind die beiden Spalten vertauscht. Die müssen schon zum Eigenwert stimmen.
$ [mm] D:=\pmat{ \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 0 \\ 0 & \bruch{1-\wurzel{5}}{2} }, S=\pmat{ \bruch{-\wurzel{5}+1}{2} & \bruch{\wurzel{5}+1}{2} \\ 1 & 1 } [/mm] $
Bei deiner Version komme ich mit [mm] $SAS^{-1}=\pmat{0&-1\\-1&1} [/mm] $.
Also micht richtigen S kommt auch eine etwas größere Matrix heraus. (Hab auch diese komischen Werte, aber Maple bestätigt es)
Bei mir: [mm]SD^nS^{-1}= \left[ \begin {array}{cc} -1/10\, \left( 1/2-1/2\,\sqrt {5} \right) ^
{n}\sqrt {5}+1/2\, \left( 1/2-1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}+1/10\,
\left( 1/2+1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}\sqrt {5}+1/2\, \left( 1/2+1/2
\,\sqrt {5} \right) ^{n}&-1/5\,\sqrt {5} \left( \left( 1/2-1/2\,
\sqrt {5} \right) ^{n}- \left( 1/2+1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}
\right) \\ \noalign{\medskip}-1/5\,\sqrt {5} \left( \left( 1/2-1/2\,
\sqrt {5} \right) ^{n}- \left( 1/2+1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}
\right) &1/10\, \left( 1/2-1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}\sqrt {5}+1/2\,
\left( 1/2-1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}-1/10\, \left( 1/2+1/2\,\sqrt {
5} \right) ^{n}\sqrt {5}+1/2\, \left( 1/2+1/2\,\sqrt {5} \right) ^{n}
\end {array} \right]
[/mm]
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