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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Fr 20.01.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix:
A = [mm] \pmat{ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 5 }
[/mm]
Geben Sie eine MAtrix B an, so dass [mm] B^{-1}*A*B [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Ist die Matrix B orthogonal? |
Als Eigenwerte habe ich: 2, 3, 6
Als Eigenvektoren:
[mm] v_{1}=t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{2}=t*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{3}=t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Wie kann ich daraus die gesuchte Matrix B berechnen, und herausfinden, ob sie orthogonal ist? Was heißt "othogonal"?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo papillon!
Es ist alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Normiere die drei Eigenvektoren (teile sie jeweils durch die Norm, also die Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst) und schreibe sie als Spaltenvektoren in die Matrix $B$.
Die Matrix ist orthogonal, wenn die Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis bilden, d.h. wenn das Skalarprodukt jedes Spaltenvektors mit sich selbst $1$ ergibt (das erreichst du gerade durch das vorherige Normieren) und wenn alle Skalarprodukte von unterschiedlichen Spaltenvektoren gleich $0$ sind (das ist hier offenbar der Fall).
Rechne jetzt mal [mm] $B^{-1}$ [/mm] aus und schaue, ob [mm] $B^{-1}AB$ [/mm] die gewünschte Diagonalmatrix liefert...
Liebe Grüße
Julius
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