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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Fr 04.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | a) Sei $f : [mm] \IR \rightarrow \R, [/mm] f(x) = c [mm] \cdot \alpha^{|x|}$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] > 0$. Bestimmen Sie [mm] $\alpha, [/mm] c [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass $f$ eine (Riemann-) Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
b) Sei $g: [mm] \IR \rightarrow \R, [/mm] g(x) = c [mm] \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} 1_{\IZ}(x)$ [/mm] und [mm] $\lambda [/mm] > 0$. Bestimmen Sie $c [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass $g$ eine Zähldichte ist.
c) Existiert [mm] $\mathbb{E}[X]$, [/mm] wenn $X$ die Dichten $f,g$ besitzt? Bestimmen Sie gegebenenfalls [mm] $\mathbb{E}[X]$. [/mm] |
Hey ihr...
hänge bei Aufgabe b).
Zu a) zu zeigen: $f(x) = c [mm] \cdot \alpha^{|x|}$ [/mm] ist Wahrscheinlichkeitsdichte
* [mm]f(x) \geq 0[/mm]
Es gilt, da [mm]\alpha^{|x|} > 0[/mm] für [mm]\alpha > 0 \Rightarrow c > 0[/mm].
* [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} = 1[/mm]
[mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx} = \integral_{-\infty}^{\infty}{c \cdot \alpha^{|x|} dx} = c \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{\infty}{\alpha^x dx} = 2c \cdot \left[ \bruch{\alpha^x}{\log(\alpha)} \right]_{0}^{\infty} = \bruch{2c}{\log(\alpha)} \left( \lim_{x \rightarrow \infty} (a^x) - 1 \right)[/mm].
1. Fall [mm]0 \leq \alpha < 1[/mm]
[mm] \Rightarrow 1 = - \bruch{2c}{\log(\alpha)}[/mm]
[mm]-\bruch{\log(\alpha)}{2} = c[/mm].
2. Fall [mm]\alpha = 1[/mm] Da [mm]\log(1) = 0[/mm] ist das nicht definiert.
3. Fall [mm]1 < \alpha[/mm] ist [mm]\lim_{x \rightarrow \infty} (\alpha^x) = \infty[/mm]. Somit wird das nie 1.
Also erhalten wir:
[mm]\Rightarrow \alpha[/mm]und [mm]c[/mm] sind voneinander abhängig und es gilt [mm]0 \leq \alpha < 1[/mm] und [mm]\log(\alpha) = -2c[/mm]
zu b) zu zeigen:
[mm]g(x) = c \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} 1_{\IZ}(x) [/mm] ist eine Zähldichte.
Es gilt
[mm]g(x) = \left\{ \begin{matrix} c \cdot \bruch{\lambda^{x}}{x!}, & x \in \IZ \\
0 & x \in \IR \backslash \IZ \end{matrix} \right.[/mm].
nun muss gelten: [mm]\summe_{x \in \IR}^{} g(x) = 1[/mm].
Ich habe bisher:
[mm]\summe_{x \in \IR}^{} g(x) = \summe_{x \in \IZ} c \cdot \bruch{\lambda^x}{x!}[/mm]
Lass ich mir nun bei Wolfram Alpha die Summe ausrechnen (leider geht das in der Klausur nicht :( ), erhalte ich:
[mm]c \cdot e^{\lambda} = 1 \Rightarrow c = \bruch{1}{e^{\lambda}}[/mm]
Muss man solche Summen kennen oder gibts da einen Tipp um diese zu berechnen??
zu c)
Damit [mm] $\mathbb{E}[X]$ [/mm] existiert, muss [mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot [/mm] f(x) dx < + [mm] \infty$ [/mm] sein.
Wenn ich das nachrechne, erhalte ich:
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] |x| [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] |x| [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \alpha^{|x|} [/mm] dx = [mm] 2c\integral_{0}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot \alpha^x [/mm] dx = 2 [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \bruch{\alpha^x (x \log(\alpha) - 1)}{\log^2(\alpha)} [/mm] = 2 [mm] \cdot \bruch{- \log(\alpha)}{2} \cdot \bruch{\alpha^x (x \log(\alpha) - 1)}{\log^2(\alpha)} [/mm] = - [mm] \bruch{\alpha^x (x \log(\alpha) - 1)}{\log(\alpha)} [/mm] $.
Sind meine Überlegungen soweit richtig? Hab ich irgendwas übersehen?
Danke für eure Hilfe,
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also der erste Teil ist komplett richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es muss aber heißen 0<a<1.
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Fry |
...allerdings fehlt bei a)
a)f stückweise stetig für alle a>0 und [mm] c\in\IR
[/mm]
b) [mm] f(x)\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
[mm] a^{|x|}>0 [/mm] => [mm] c\ge [/mm] 0, wobei natürlich c=0 nicht eintreten kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Fr 04.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
Danke!!
Punkt b) hatte ich vergessen mit hinzuschreiben... aber ja... :)
Meine Probleme bei dieser Aufgabe lagen eher bei b) und c)....
Sind die denn auch richtig??
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Huhu,
dein aufschreiben bei b) ist sehr gewönungsbedürftig!
> Es gilt$
> g(x) = $ [mm] \left\{ \begin{matrix} c \cdot \bruch{\lambda^{x}}{x!}, & x \in \IZ \\ 0 & x \in \IR \backslash \IZ \end{matrix} \right.$. [/mm] $
> nun muss gelten: $ [mm] \summe_{x \in \R}^{} [/mm] g(x) = 1 $.
Zwei Sachen vorweg: Die hast jetzt schon einige Postings gemacht und dir sollte aufgefallen sein (dafür gibts die Vorschaufunktion!), dass \R NICHT funktioniert!
Verwende also in Zukunft die (hier) korrekte Schreibweise \IR.
Dann: Was ist denn bitteschön eine Summe über eine überabzählbare Menge? Das kann man zwar definieren, ist von dir hier wohl eher NICHT gemeint!
Sauber aufgeschrieben meintest du bestimmt folgendes:
[mm] $\integral_{x\in\IR}\,g(x)\,d\lambda [/mm] = [mm] \summe_{x\in\IZ} [/mm] g(x) = 1$
Also letztlich steht da:
[mm] $\summe_{k=-\infty}^\infty [/mm] g(k)$
Schaust du dir nun g(k) mal genauer an, fällt dir auf, dass es für k und -k dasselbe liefert, d.h. du kannst es umschreiben (warum?) in:
[mm] $\summe_{k=-\infty}^\infty [/mm] g(k) = [mm] 2*\summe_{k=0}^\infty [/mm] g(k) - g(0)$
Mach dir das mal klar!
Naja, und nun musst du nur noch [mm] $\summe_{k=0}^\infty [/mm] g(k)$ bestimmen, das ist aber eine bekannte Reihe, die du kennen solltest.
Nun zu c)
zu c)
> Damit $ [mm] \mathbb{E}[X] [/mm] $ existiert, muss $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] |x| [mm] \cdot [/mm] f(x) dx < + [mm] \infty [/mm] $ sein.
> Wenn ich das nachrechne, erhalte ich:
> $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \alpha^{|x|} [/mm] dx = [mm] 2c\integral_{0}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot \alpha^x [/mm] dx = 2 [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \bruch{\alpha^x (x \log(\alpha) - 1)}{\log^2(a)} [/mm] $.
Du hast im Integral nur x anstatt |x| geschrieben, dadurch werden deine Umformungen (insbesondere das 2. Gleichheitszeichen) falsch.
Pass das an (und mach dir klar, was du falsch gemacht hast), dann stimmts.
Insbesondere hast du c doch aber bereits schon bestimmt, nutze das doch und setze ein!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Fr 04.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
Okay, die Tippfehler kommen daher, dass ich bei mir bei Latex eine andere Notation habe und deswegen ein paar Sachen übersehen habe... Ich hab das oben auch abgeändert (hoffe, ich hab alle Fehler gefunden)... Aber danke für den Hinweis...
Jetzt passt das mit der Summe auch.
also [mm] \summe_{x \in \IR} c \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} 1_{\IZ}(x) = \summe_{x \in \IR \backslash \IZ} c \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!}1_{\IZ}(x) + \summe_{x \in \IZ} c \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!}1_{\IZ}(x) = 0 + \summe_{x = - \infty}^{\infty} c \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} = 2 c \cdot \left( \summe_{x = 0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x}}{x!} - g(0) \right) = 2 c \cdot \left( e^{\lambda} - 1 \right) [/mm] (nach Wolfram Alpha)
und dann muss ja:
[mm]1 = 2 c \cdot \left( e^{\lambda} - 1 \right) \Leftrightarrow \bruch{1}{2 (e^{\lambda} - 1)} = c [/mm]
Wenn ich jetzt da überprüfe ob [mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] |x| g(x) dx < + [mm] \infty$ [/mm] gilt, erhalte ich:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot g(x) dx = \integral_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} \cdot \bruch{1}{2e^{\lambda} - 2} \cdot 1_{\IZ} (x) dx = \bruch{1}{2(e^{\lambda} - 1)} \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{\infty} x \cdot \bruch{\lambda^x}{x!} \cdot 1_{\IZ} (x) dx = \bruch{1}{(e^{\lambda} - 1)} \cdot \integral_{0}^{\infty} \bruch{\lambda^x}{(x-1)!}\cdot 1_{\IZ} (x) dx[/mm]
Aber wie berechne ich das Integral?? Geht das überhaupt, oder hat $X$ mit der Dichte $g(x)$ keinen Erwartungswert. Das wäre jetzt mein Tipp... Aber ich weiß nicht, wie ich das Begründen soll...
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Huhu,
vorweg: Stell deine Fragen doch nächstemal auch als Solche, sonst sieht man sie nicht.
> Jetzt passt das mit der Summe auch.
Nein.
>
> also [mm]\summe_{x \in \IR} c \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} 1_{\IZ}(x)[/mm]
Hier machst du wieder genau die gleiche unsaubere Notation.
Was ist denn eine Summe über eine überabzählbare Menge?
Das kann man sich zwar sauber definieren, hast du aber sicherlich noch nicht.
D.h. das Zeichen [mm] $\summe_{x\in\IR}$ [/mm] macht hier gar keinen Sinn.
Auch wenn nachher was korrektes rauskommt, ist die Notation so trotzdem nicht korrekt!
D.h. bis du bei [mm] \IZ [/mm] als Menge angekommen bist, müsstest du das Integralzeichen verwenden!
> $0 + [mm] \summe_{x = - \infty}^{\infty} [/mm] c [mm] \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} [/mm] = 2 c [mm] \cdot \left( \summe_{x = 0}^{\infty} \bruch{\lambda^{x}}{x!} - g(0) \right)$
[/mm]
Hier hast du ausserdem einen Umformungsfehler gemacht.
Mach das mal Schrittweise, dann kommst du da von allein drauf.
Es gilt übrigens:
[mm] $\summe_{x = - \infty}^{\infty} [/mm] c [mm] \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} [/mm] = [mm] 2\summe_{x=0}^\infty [/mm] g(x) - g(0)$ und
[mm] $\summe_{x = - \infty}^{\infty} [/mm] c [mm] \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} \not= 2\left(\summe_{x=0}^\infty g(x) - g(0)\right)$ [/mm]
Der Rest ist folgend dann falsch.
> Wenn ich jetzt da überprüfe ob
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} |x| g(x) dx < + \infty[/mm] gilt,
> erhalte ich:
Auch jetzt stimmen deine Umformungen nicht.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot g(x) dx = \integral_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot \bruch{\lambda^{|x|}}{|x|!} \cdot \bruch{1}{2e^{\lambda} - 2} \cdot 1_{\IZ} (x) dx = \bruch{1}{2(e^{\lambda} - 1)} \cdot 2 \cdot \integral_{0}^{\infty} x \cdot \bruch{\lambda^x}{x!} \cdot 1_{\IZ} (x) dx = \bruch{1}{(e^{\lambda} - 1)} \cdot \integral_{0}^{\infty} \bruch{\lambda^x}{(x-1)!}\cdot 1_{\IZ} (x) dx[/mm]
Du kannst doch gar nicht das uneigentliche Riemannintegral benutzen!
Du hast eine Zähldichte auf [mm] \IZ [/mm] !!
Wie ist da denn der Erwartungswert definiert?
MFG,
Gono.
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