Dichte Teilmenge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 30.11.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen!
Ich möchte folgende Aufgabe beweisen:
$ X $ unendlich dimensionaler Banach Raum, finde zwei Mengen $ [mm] C_1, C_2 [/mm] $ so dass $ [mm] C_1\cap C_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $ und $ [mm] C_1 \cup C_2 [/mm] = X $ und beide dicht.
Beweis: Da $ X $ unendlich dimensional ist, habe ich ein nicht stetiges Funktional $ f $. Dann sollte wir (das waren die Tipps) die folgenden Mengen definieren:
$ [mm] C_1 :=\{ x \in X | f(x) \ge 0 \}, C_2 :=\{x\in X | f(x) < 0 \} [/mm] $
Es bleibt nur noch die Dichtheit beider Mengen zu überprüfen. $ [mm] C_1 [/mm] $ ist dicht, da es die dichte Teilmenge $ [mm] f^{-1}(0) [/mm] $ enthält. Ich sehe aber nicht ein wieso $ [mm] C_2 [/mm] $ dicht sein sollte?
Danke / greetz
hula
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Hallo,
> Hallöchen!
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> Ich möchte folgende Aufgabe beweisen:
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> [mm]X[/mm] unendlich dimensionaler Banach Raum, finde zwei Mengen
> [mm]C_1, C_2[/mm] so dass [mm]C_1\cap C_2 = \emptyset[/mm] und [mm]C_1 \cup C_2 = X[/mm]
> und beide dicht.
>
> Beweis: Da [mm]X[/mm] unendlich dimensional ist, habe ich ein nicht
> stetiges Funktional [mm]f [/mm]. Dann sollte wir (das waren die
> Tipps) die folgenden Mengen definieren:
>
> [mm]C_1 :=\{ x \in X | f(x) \ge 0 \}, C_2 :=\{x\in X | f(x) < 0 \}[/mm]
>
> Es bleibt nur noch die Dichtheit beider Mengen zu
> überprüfen. [mm]C_1[/mm] ist dicht, da es die dichte Teilmenge
> [mm]f^{-1}(0)[/mm] enthält.
Warum sollte [mm]f^{-1}(0)[/mm] dicht in [mm] X [/mm] sein?
> Ich sehe aber nicht ein wieso [mm]C_2[/mm] dicht
> sein sollte?
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> Danke / greetz
>
> hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Fr 02.12.2011 | | Autor: | hula |
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> Warum sollte [mm]f^{-1}(0)[/mm] dicht in [mm]X[/mm] sein?
>
Es gilt: Wenn $ f $ eine lineare nicht stetiges Funktional auf einem unendlich dimensionalen Banachraum ist, dann ist $ [mm] f^{-1}(0) [/mm] $ dicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Fr 02.12.2011 | | Autor: | hippias |
Wenn die Behauptung stimmt, was ich nicht beurteilen kann, dann muesste doch [mm] $f^{-1}(c)$ [/mm] fuer jedes [mm] $c\in [/mm] K$ dicht sein und somit auch [mm] $\{x|f^{-1}(x)<0\}= \cup_{r<0} \{x|f^{-1}(x)=r\}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Fr 02.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Wenn die Behauptung stimmt, was ich nicht beurteilen kann,
> dann muesste doch [mm]f^{-1}(c)[/mm] fuer jedes [mm]c\in K[/mm] dicht sein
> und somit auch [mm]\{x|f^{-1}(x)<0\}= \cup_{r<0} \{x|f^{-1}(x)=r\}[/mm].
Na! Ich habe mich verschrieben. Ist aber schon klar, was gemeint ist, oder?
[mm] $\{x|f(x)<0\}= \cup_{r<0} f^{-1}(r)$. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn die Behauptung stimmt, was ich nicht beurteilen kann,
> dann muesste doch [mm]f^{-1}(c)[/mm] fuer jedes [mm]c\in K[/mm] dicht sein
> und somit auch [mm]\{x|f^{-1}(x)<0\}= \cup_{r<0} \{x|f^{-1}(x)=r\}[/mm].
Hier meinst Du sicher:
[mm]\{x|f(x)<0\}= \cup_{r<0}f^{-1}(\{r\})[/mm].
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt : ist f ein lineares Funktional auf einem normierten Raum, so ist f genau dann stetig, wenn kern(f) abgeschlossen ist.
Sei also f nicht stetig, dann ist also kern(f) nicht abgeschlossen und somit ein echter Unterraum von [mm] \overline{kernf}
[/mm]
Weiter gibt es ein [mm] x_0 [/mm] in X mit
$ [mm] X=span(\{x_0\}) \oplus [/mm] ~kern(f)$
Damit hat kern(f) die Kodimension 1. Folglich hat [mm] \overline{kernf} [/mm] die Kodimension 0, daher ist
[mm] $\overline{kernf}=X$
[/mm]
FRED
P.S.: Banachraum braucht man nicht, es genügt ein normierter Raum.
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