Dichte abzählbare Teilmengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mi 27.05.2009 | | Autor: | DerGO |
| Aufgabe 1 | | (1) [mm] \IQ^n [/mm] ist dichte abzählbare Teilmenge von [mm] \IR^n [/mm]. |
| Aufgabe 2 | | (2) Jeder kompakte metrische Raum (X,d) besitzt eine dichte abzählbare Teilmenge [mm] D \subseteq X [/mm]. |
Hallo Leute,
ich steh irgendwie total auf dem Schlauch. Wir hatten folgende Definitionen
1. (X,d) ist ein metrischer Raum
2. Eine Teilmenge [mm] D \subseteq X [/mm] heißt dicht in X, wenn [mm] \overline{D} = X [/mm] gilt, wobei [mm] \overline{D} [/mm] den Abschluss von D in X bezeichnet.
Naja und als Tipp hat man mir gesagt, dass ich zu jedem [mm] n \in \IN [/mm] alle offenen Kugeln in X mit Radius [mm] \bruch{1}{n} [/mm] betrachten soll und die Mittelpunkte von entsprechenden endlichen Teilüberdeckungen wählen soll.
Ich habe aber leider keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Habe alle meine Bücher gewälzt und weiß, dass ich an sich mit den Definitionen und dem Tipp arbeiten sollte. Könnt ihr mir evtl einen Tipp geben, wie ich anfangen soll?
Gruß DerGO
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> (1) [mm]\IQ^n[/mm] ist dichte abzählbare Teilmenge von [mm]\IR^n [/mm].
> (2)
> Jeder kompakte metrische Raum (X,d) besitzt eine dichte
> abzählbare Teilmenge [mm]D \subseteq X [/mm].
> Hallo Leute,
>
> ich steh irgendwie total auf dem Schlauch. Wir hatten
> folgende Definitionen
>
> 1. (X,d) ist ein metrischer Raum
> 2. Eine Teilmenge [mm]D \subseteq X[/mm] heißt dicht in X, wenn
> [mm]\overline{D} = X[/mm] gilt, wobei [mm]\overline{D}[/mm] den Abschluss von
> D in X bezeichnet.
>
> Naja und als Tipp hat man mir gesagt, dass ich zu jedem [mm]n \in \IN[/mm]
> alle offenen Kugeln in X mit Radius [mm]\bruch{1}{n}[/mm] betrachten
> soll und die Mittelpunkte von entsprechenden endlichen
> Teilüberdeckungen wählen soll.
Ich nehme an, das eigentliche Problem ist Aufgabe 2. Der Hinweis ist im Grunde schon fast eine komplette Lösung, aber wenn man noch nicht so vertraut ist mit den Begriffen ist das natürlich was anderes. Also mal folgender Tipp:
Zu jedem [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist [mm] $\{B_{1/n}(x)\}_{x\in X}$ [/mm] eine offene Überdeckung von X, besitzt also wegen der Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung [mm] $\{B_{1/n}(x^n_i)\}_{i=1}^{N_n}$. [/mm] Sei [mm] $M_n=\{x^n_i\mid i=1,...,N_n\}$ [/mm] die Menge dieser Mittelpunkte.
Betrachte jetzt die Menge [mm] $M=\bigcup_{n\in\IN}M_n$. [/mm] Behauptung: M ist abzählbar und dicht in X!
Gruß, Robert
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