Dichte der Dreiecksverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | X und Y seien unabhängige, im Intervall (a,b) gleichverteilte ZV. Berechne die dichte von X+Y. |
Hallo!
Ich habe folgenden Ansatz zu dem Problem:
Die Dichtefunktion von X ergibt sich zu [mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t \mbox{ < a oder >b} \\ 1/b-a, & \mbox{für } n \mbox{ >a und
Da X und Y unabhängig sind, kann ich den Faltungssatz anwenden, der besagt, dass die Dichte von X+y gegeben ist durch
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) f(r-t) dt}
[/mm]
d.h meine dichtefunktion für X+Y sollte sich ergeben aus
[mm] \integral_{a}^{b}{1/(b-a)^2 dt} [/mm] = 1/(b-a)
das ist aber nicht die Dichte, die ich für die Dreiecksverteilung im Internet gefunden habe..
lg,
Natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Natalie,
bei der Berechnung der Dichte über die Faltungsfunktion hast Du vergessen, dass eine der Dichten an der Ordinate gespiegelt wird. Ich schreibe es hier nochmal auf mit zwei verschiedenen Bezeichnungen, so dass man mit der Funktion f(t) nicht so durcheinander kommt.
Für die Variable x gilt:
$$ [mm] f_x [/mm] (x)= [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ < a oder >b} \\ 1/b-a, & \mbox{für } x \mbox{ >a und
Für die Zufallsvaribale y gilt entsprechend:
$$ [mm] f_y(y)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } y \mbox{ < a oder >b} \\ 1/b-a, & \mbox{für } y \mbox{ >a und
Da beide Variablen unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Dichte der Summe über beide Variablen, [mm] z = x + y [/mm], durch das Faltungsintegral
$$ [mm] f_z [/mm] (z) = [mm] \int_{ - \infty}^{\infty} f_x [/mm] (x) [mm] f_y [/mm] (z-x) dx [mm] \, [/mm] . $$
Die Dichte [mm] f_y [/mm] ist an der Ordinate gespiegelt, und ich muss sie mindestens um 2a verschieben, damit sich [mm] f_x (x) [/mm] und [mm] f_y (z-x) [/mm] überhaupt überlappen. Je größer z wird, umso mehr überlappen sich die beiden Werte, bis beide Dichten sich decken, dies ist der Maximalwert den Du ausgerechnet hast, danach nimmt die Dichte wieder ab, bis sie den Wert 0 bei [mm] z = 2b [/mm] erreicht. Dies ist die Dreiecksverteilung, die Du suchst.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, damit ist mir einmal klar, wie ich überhaupt auf das Dreieck komme! aber was muss ich jetzt ins integral einsetzen? meine dichtefunktionen sind ja trotzdem noch beide konstant gleich 1/(b-a)! und damit komme ich auf dasselbe wie vorher?!
lg,
Natalie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 05.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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