Dichte und Verteilungsfkt. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitze die Dichte
[mm] f(s,t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x,y) |
Sehr geehrte Mathematiker,
ich versuche mich gerade an der oben beschriebenen Aufgabe. Da ich im Moment keine Hilfe in der Hochschule wegen Semesterferien in Anspruch nehmen kann, würde ich gerne um diese hier bitten.
Folgendes ist mir unklar:
Warum werden bei der Dichte die Variablen s und t benutzt und nicht x und y? Wie kommt man zu den verschiedenen Fällen bei der Bestimmung der Verteilungsfunktion?
Vielen Dank an alle im Voraus.
PS
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Fr 23.02.2007 | | Autor: | statler |
> Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitze die
> Dichte
>
> [mm]f(s,t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0
>
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x,y)
Werter Herr Kollege, seien Sie zunächst herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sehr geehrte Mathematiker,
>
> ich versuche mich gerade an der oben beschriebenen Aufgabe.
> Da ich im Moment keine Hilfe in der Hochschule wegen
> Semesterferien in Anspruch nehmen kann, würde ich gerne um
> diese hier bitten.
>
> Folgendes ist mir unklar:
> Warum werden bei der Dichte die Variablen s und t benutzt
> und nicht x und y?
Meine Standardantwort dazu ist: Das machen wir, um die Russen zu verwirren. Der weitere Vorteil ist, daß ich dann die Verteilungsfkt. hinschreiben kann, ohne die Bezeichnungen zu ändern.
Es ist doch
F(x,y) = [mm] \integral_{-\infty}^{x} \integral_{-\infty}^{y}{f(s,t) ds dt}
[/mm]
und das würde ich am liebsten direkt aus der Anschauung angreifen. Im Bereich, der uns hauptsächlich interessiert, nämlich für x und y zwischen 0 und 1, ist das xy (das Volumen eines Quaders).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Fr 23.02.2007 | | Autor: | luis52 |
Eine kleine Ergaenzung:
Der gemeinsamen Dichte kann man entnehmen, dass $X$ und $Y$ unabhaengig
und identisch verteilt sind. Dann kann man schreiben:
$F(x,y)=G(x)G(y)$. Darin ist $G$ die (Rand-)Verteilungsfunktion von $X$
bzw. $Y$, also $G(x)=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$, $G(x)=x$ fuer $0< x [mm] \le [/mm] 1$ und
$G(x)=1$ fuer $1<x$.
hth
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Danke schön soweit.
Jetzt sind bei mir noch mehr Fragen entstanden.
Das heisst s und t werden lediglich als Ersatz verwendet um gleich integrieren zu können?
Ich habe heute in die Musterlösung reingeschaut.
Es gibt dort folgende Fälle:
Fall I: x < 0 oder y < 0
-> Verstehe ich
Fall II: 0 [mm] \le [/mm] x , y [mm] \le [/mm] 1
-> Ergibt nach Musterlösung F(x,y) = [mm] \integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{1 dtds}
[/mm]
-> Warum setzt man hier 0 als untere Grenze des Intervalls und x bzw. y als obere Grenze? Ist es weil beide im Intervall liegen? Aber warum dann die obere Grenze nicht 1?
Zur vollständigkeit die restlichen Fälle:
Fall III: x > 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
Fall IV: 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und y > 1
Fall V: x > 1, y > 1
-> Warum wird der Fall x<0 und [mm] 0\lex\le1 [/mm] nicht überprüft?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 23.02.2007 | | Autor: | luis52 |
> Danke schön soweit.
>
> Jetzt sind bei mir noch mehr Fragen entstanden.
>
> Das heisst s und t werden lediglich als Ersatz verwendet um
> gleich integrieren zu können?
>
> Ich habe heute in die Musterlösung reingeschaut.
>
> Es gibt dort folgende Fälle:
>
> Fall I: x < 0 oder y < 0
> -> Verstehe ich
>
> Fall II: 0 [mm]\le[/mm] x , y [mm]\le[/mm] 1
> -> Ergibt nach Musterlösung F(x,y) =
> [mm]\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{1 dtds}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> -> Warum setzt
> man hier 0 als untere Grenze des Intervalls und x bzw. y
> als obere Grenze? Ist es weil beide im Intervall liegen?
> Aber warum dann die obere Grenze nicht 1?
Moin,
die gemeinsame Dichte kannst du dir als einen Wuerfel mit der Kantenlaenge 1 ueber dem Einheitsquadrat vorstellen. Wenn du $F(x,y)$ fuer $0\le x,y \le 1$ bestimmen willst, so musst du das
Volumen unter der Dichte im Suedwesten vom Punkt $(x,y)$ bestimmen. Da die Dichte nur im Einheitsquadrat nicht verschwindet, ist genau das Doppelintegral $\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y} 1 \,dt\, ds} $ zu bestimmen.
>
> Zur vollständigkeit die restlichen Fälle:
> Fall III: x > 1 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
> Fall IV: 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und y > 1
> Fall V: x > 1, y > 1
>
Mach dir eine Graphik und versuche die verschiedenen Faelle zu
lokalisieren.
> -> Warum wird der Fall x<0 und [mm]0\lex\le1[/mm] nicht überprüft?
>
Was meinst du mit [mm]0\lex\le1[/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Wowtschik |
> Was meinst du mit [mm]0\lex\le1[/mm] ?
Ich habe falsch getippt.
Das sollte x < 0 und 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 heissen
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Ich habe mir das ganze im Koordinatensystem eingezeichnet als ein Rechteck. Ist gut zum verstehen. Jetzt bleibt bei mir aber immer noch die Frage warum zum Beispiel Intervall x < 0 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 nicht in die Berechnung von F(x,y) miteinbezieht.
Und verstehe ich das richtig das statt f(s,t) im Doppelintegral der Funktionswert (1 oder 0) reinkommt?
Ich hätte zum Beispiel für x > 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 die Folgenden Funktionswerte:
x > 1 also den sonst Fall => 0
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 der 0 [mm] \le [/mm] s , t [mm] \le [/mm] 1 Fall => 1
Das ganze eingesetzt ...
F(x,y) = [mm] \integral_{0}^{x}\integral_{0}^{1}{0 dtds }
[/mm]
... jetzt sehe ich gerade es steht jedoch in der MuLö ....
F(x,y) = [mm] \integral_{0}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dtds }
[/mm]
Warum ist es jetzt 1?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Fr 23.02.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe mir das ganze im Koordinatensystem eingezeichnet
> als ein Rechteck. Ist gut zum verstehen. Jetzt bleibt bei
> mir aber immer noch die Frage warum zum Beispiel Intervall
> x < 0 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1 nicht in die Berechnung von F(x,y)
> miteinbezieht.
Ist $x<0$, so ist das Volumen unter der Dichte im Suedwesten (also unterhalb und links) vom Punkt
$(x,y)$ gleich Null, so dass dort $F(x,y)=0$ gilt.
>
> Und verstehe ich das richtig das statt f(s,t) im
> Doppelintegral der Funktionswert (1 oder 0) reinkommt?
>
> Ich hätte zum Beispiel für x > 1 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1 die
> Folgenden Funktionswerte:
>
> x > 1 also den sonst Fall => 0
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1 der 0 [mm]\le[/mm] s , t [mm]\le[/mm] 1 Fall => 1
>
> Das ganze eingesetzt ...
>
> F(x,y) = [mm]\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{1}{0 dtds }[/mm]
>
> ... jetzt sehe ich gerade es steht jedoch in der MuLö ....
>
> F(x,y) = [mm]\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dtds }[/mm]
>
> Warum ist es jetzt 1?
Ich versuche es einmal an dem folgenden Schema zu erlaeutern.
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A | D | G
-----+------+-----
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B | E | H
-----+------+-----
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C | F | F
Der Wuerfel befindet sich ueber E. In den Feldern A, B, C, E und F gilt
$f(s,t)=0$. Waehlst du einen Punkt $(x,y)$ aus diesem Bereich, so ist
das Volumen links und unterhalb dieses Punktes unterhalb der Dichte =0.
Interessant wird es, wenn du Punkte $(x,y)$ aus den Bereichen E, D, H
oder G waehlst. Die Zahl $F(x,y)$ findest du als Volumen unter dem
Wuerfel in E, das durch den Bereich unterhalb und links von $(x,y)$ aus
dem Wuerfel "herausgeknabbert" wird. Offenbar ist dieses Volumen 1, wenn $(x,y)$ in G gewaehlt wird. Waehlst du $(x,y)$ in D, so folgt $F(x,y)=x$,
usw.
hth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Wowtschik |
Ich glaube ich habe es jetzt dank der Zeichnung von dir verstanden. Ich habe mir den Würfel genau dort vorgestellt, nur konnte ich die angrenzenden Gebiete für x < 0 oder x > 1 bzw. das gleiche für y nicht einordnen.
Also F(x,y) bedeutet Volumen? Zumindest bei dieser geometrischen Verteilung. Wie ist es, wenn die Verteilungsfunktion weniger anschaulich ist und man sich das nicht so schön als Würfel vorstellen kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Sa 24.02.2007 | | Autor: | luis52 |
> Also F(x,y) bedeutet Volumen?
In diesem Fall ja, da im vorliegenden Fall $F$ eine Funktion der Form
[mm] $F\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] ist mit
[mm] $F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(s,t)\,ds\,dt$. [/mm] Fuer univariate
Verteilungen beschreibt die Verteilungsfunktion [mm] $F\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit
[mm] $F(x)=\int_{-\infty}^xf(s)\,ds$ [/mm] eine Flaeche.
> Zumindest bei dieser
> geometrischen Verteilung. Wie ist es, wenn die
> Verteilungsfunktion weniger anschaulich ist und man sich
> das nicht so schön als Würfel vorstellen kann?
Dann fragst du hier wieder 
Scherz beiseite. Nicht die schoene Gestalt des Wuerfels vereinfacht die
Sache, sondern dass der Bereich, wo gilt $f(s,t)>0$, so einfach ist. So
ist es sehr einfach, die Verteilungsfunktion zu bestimmen, die zu der
Dichte
[mm] $f(x_1,\dots,x_9)=1$ [/mm] fuer [mm] $0
sonst
gehoert. Man weiss naemlich, dass die Musik nur in dem Wuerfel [mm] $(0,1)^9$
[/mm]
spielt. Was dich vermutlich irritiert sind dann die vielen
Fallunterscheidungen. Aber da kann man so argumentieren: Gilt [mm] $x_i\le [/mm] 0$
fuer ein $i$, so ist offenbar [mm] $F(x_1,\dots,x_9)=0$. [/mm] Bleiben die Faelle,
wo gilt [mm] $0
beispielsweise [mm] $x_1<1$, $x_2<1$, $x_3<1$ [/mm] sowie [mm] $x_4\ge 1$,...,$x_4\ge [/mm] 1$.
Dann "schnurrt" die Berechnung von [mm] $F(x_1,\dots,x_9)$ [/mm] auf die Berechnung
von
[mm] $\int_{0}^{x_1}\int_{0}^{x_2}\int_{0}^{x_3}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}f(s_1,\cdots,s_9)\,ds_1\dots\,ds_9=
[/mm]
[mm] \int_{0}^{x_1}\int_{0}^{x_2}\int_{0}^{x_3}1\,ds_1\,ds_2\,ds_3$.
[/mm]
zusammen. Ich will damit sagen, dass man sich damit begnuegt *zu wissen*, wie man [mm] $F(x_1,\dots,x_9)$ [/mm] berechnen koennte, wenn man muesste.
hth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Di 27.02.2007 | | Autor: | luis52 |
> Werde jetzt weiter lernen, gibt noch viele andere "lustige"
> Themen der Statistik zu erforschen ...
>
Bravo! Eine sehr zu begruessende Einstellung.
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