Dichtefunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 04.12.2008 | | Autor: | Neon |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Dichtefunktion:
f(x)=1/3x+1/3
Berechnen Sie die kleinstmöglichen Intervallgrenzen, damit f(x) eine gültige Dichtefunktion darstellt. |
Hallo zusammen,
ich weiß dass ich zur Bearbeitung der oberen Aufgabe zum einen Zeiten muss, dass das gesuchte Integral den Wert 1 annimmt und zum anderen auch noch die "Nichtnegativität" beachten muss.
Ich habe versucht, einfach mal aufzuleiten, aber mir fehlt der Ansatz, um zu einer vernünftigen Lösung zu kommen.
Kann mit einer weiterhelfen?
Danke :)
P.s.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
f ist ja genau dann eine Dichte, wenn [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = 1 ist (ich unterstelle hier mal, dass [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR). [/mm] Das wird bei deinem f sicher nicht funktionieren, so dass man ein kleineres Intervall [a,b] sucht, so dass [mm] \integral_{b}^{a}{f(x) dx} [/mm] = 1. Genauer f wird dann wie folgt definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/3x+1/3, & \mbox{für } x \mbox{in [a,b]} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
(daraus folgt dann, dass das Integral über den anderen Teilintervallen, d.h. [mm] ]-\infty,a[ [/mm] und [mm] ]b,\infty[ [/mm] 0 ist).
Ich würd das jetzt einfach mal machen, also:
[mm] \integral_{b}^{a}{1/3x + 1/3 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}x^{2} [/mm] + 1/3x und jetzt einsetzen.
Ich hoffe das hilft schon mal.
Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 04.12.2008 | | Autor: | Neon |
Hey
Ja auf jeden Fall schon mal danke für die Antwort.
Ich habe mich in der Aufgabenstellung verschrieben - es muss 1/3x - 1/3 heißen... aber das tut der sache ja keinen großen abbruch.
ich habe deinen ratschlag befolgt und die Intervallgrenzen von a bis b eingesetzt und dann den Audruck gleich 1 gesetzt....
allerdings stehe ich jetzt vor dem Problem: 1 Gleichung - 2 Unbekannte. ich kann da aber kein vernünftiges verhältnis bilden:
b²-2b-6=a²-2a
hast du eine idee, wie ich fortfahren könnte???
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Du suchst das minimale a, für das die Gleichung erfüllt ist. Bietet sich also an, die Gleichung mittels quadratischer Ergänzung auf die Form [mm]a=\pm f(b)[/mm] (Vorzeichen wegen Wurzel beachten!) zu bringen, abzuleiten und nach einem Minimum zu suchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Do 04.12.2008 | | Autor: | Neon |
okay - das macht wohl sinn...
mit Hilfe der quadratischen ergänzung (ohne deinen Tipp wäre ich da nie drauf gekommen) erhalte ich folgende Funktion:
[mm] f(b):=a=\wurzel{(b-1)²-6}+1 [/mm]
Hier muss ich ja schon mal ausschließen, dass b ist in [mm] (1-\wurzel{6} ,1+\wurzel{6} ) [/mm]
bilde ich nun die erste ableitung von f erhalte ich
[mm] f'(b)=\pm \bruch{b-1}{\wurzel{(b-1)²-6} [/mm]
das aber gleich Null gestzt ergibt [mm] \pm b=1 [/mm]
ist hier jetzt nicht ein widerspruch?
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Edit: Nicht direkt, aber nur eine der beiden Lösungen ist richtig. Mir fiel gerade erst auf, dass die möglichen Lösungen ja gar nicht im Wertebereich liegen können - Mist. Aber siehe unten:
Man hätte das eigentliche Problem natürlich noch einfacher lösen können: Wenn man sich eine Skizze macht, sieht man, dass die Dichte - dort wo sie nicht =0 gesetzt wird - Teil einer Gerade sein soll, deren Gleichung ja auch gegeben ist. Die Nullstelle der Geraden lässt sich direkt berechnen. Eine Dichte kann nur [mm] \ge [/mm] 0 sein, also ist die untere Grenze des Integrals dort zu setzen, wo die Gerade die X-Achse schneidet (das wäre zu begründen). Die obere Grenze ergibt sich dann aus der Forderung, dass die Fläche unter der Geraden =1 sein muss.
Mal's dir mal auf...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 So 07.12.2008 | | Autor: | Neon |
jaaaa ... wieso einfach wenns auch kompliziert geht ;)
ich versuchs mal auf diese weise - danke für deine hilfe
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