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Stochastik, Aufgabe 40-5 aus Hans Heiner Storrer, Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften Band II
Es soll gezeigt werden, dass nachfolgende Funktion eine Dichtefunktion ist.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{\pi}{2} sin(\pi x), & \mbox{für } {0} \le {x} \le {1} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Antwort:
Eine Dichtefunktion muss 3 Bedingungen erfüllen:
1. f muss stetig sein (Bedingung ist erfüllt)
2. f(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] . Auch diese Bedingung ist erfüllt, weil [mm]sin(0)[/mm] bis [mm]sin(\pi) \ge 0[/mm] und weil auch [mm] \bruch{\pi}{2}\ge0 [/mm] sodass die Funktion f(x) auf dem ganzen Intervall nie negativ wird.
3. [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {f(x) dx}= 1 (das wäre wünschenswert, müsste aber noch bewiesen werden).
Ich komme bei der Berechnung des Integrals nicht weiter.
Ich sag mal, was ich schon habe:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {f(x) dx}= [mm] \integral_{-\infty}^{0} [/mm] {f(x) dx} + [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx} + [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
Das erste und das letzte Integral verschwindet, es bleibt somit:
[mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{\pi}{2} sin(\pi x) dx} [/mm] = 1
Wer hat einen Tipp?
Frage auf keinem anderen Forum plaziert.
Gruss
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Hallo,
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> [mm]\integral_{0}^{1} {\bruch{\pi}{2} sin(\pi x) dx}[/mm] = 1
>
die Stammfunktion zu sin(x) ist -cos(x).
Gruß
MathePower
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Danke für den Tipp.
Klar ist -cos(X) Stammfunktion von sin(X).
Mein Problem ist, dass im Sinus nicht nur x sondern [mm] \pi{x} [/mm] vorkommt.
Daher muss man substituieren, was mir aber nicht mehr so klar ist.
Ich versuchs mal:
[mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{\pi}{2}sin(\pi{x}) dx}={\bruch{\pi}{2} \integral_{0}^{1} sin(\pi{x}) dx}= \odot
[/mm]
Substitution:
[mm] u=\pi{x}
[/mm]
[mm] du=\pi{dx}
[/mm]
Damit ich aus [mm] \pi{x} \to{du} [/mm] machen kann, muss ich das [mm] \pi [/mm] durch [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] vor dem [mm] \integral [/mm] kompensieren.
Auch ändert der Integrationsbereich:
Aus 0 wird u(o) = 0
aus 1 wird u(1) = [mm] \pi
[/mm]
[mm] \odot =\bruch{\pi}{2}\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi} [/mm] sin(u) du
vor dem [mm] \integral [/mm] mit [mm] \pi [/mm] kürzen
[mm] =\bruch{1}{2} \integral_{0}^{\pi} [/mm] sin(u) du
[mm] =\bruch{1}{2}(-cos(u))\;\vert\begin{matrix}{\pi}\\0 \end{matrix} [/mm]
[mm] =\bruch{-1}{2}(cos(\pi))-(cos(0))=\bruch{-1}{2}((-1)-(+1))=\bruch{2}{2}= [/mm] 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mo 02.05.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Herzlichen Dank für die Kontrolle und Ergänzung.
Habe selber noch einen klitzekleinen Fehler gesehen, konnte ihn aber nicht korrigieren, da Du den Artikel schon reserviert hattest 
Hier nun die richtige Zeile ...
[mm] =\bruch{-1}{2}(cos(\pi))-(cos(0))=\bruch{-1}{2}((-1)-(+1))=\bruch{2}{2}= [/mm] 1
... statt fälschlicherweise
((-1)+(-1))
Was aber am Endergebnis natürlich nichts ändert.
Ist jetzt auch im Artikel so korrigiert.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beni!
Das war mir auch aufgefallen (wirklich!), hatte es aber auch als "klitzeklein" eingestuft.
Das wäre etwas zu penibel gewesen in meinen Augen ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Brigitte |
> Stochastik, Aufgabe 40-5 aus Hans Heiner Storrer,
> Einführung in die mathematische Behandlung der
> Naturwissenschaften Band II
>
> Es soll gezeigt werden, dass nachfolgende Funktion eine
> Dichtefunktion ist.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{\pi}{2} sin(\pi x), & \mbox{für } {0} \le {x} \le {1} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Antwort:
>
> Eine Dichtefunktion muss 3 Bedingungen erfüllen:
>
> 1. f muss stetig sein (Bedingung ist erfüllt)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist keine notwendige Bedingung. Denke etwa an die Dichte der U(0,1)-Verteilung!!!
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 02.05.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Brigitte.
Danke für den Hinweis, Du hast natürlich recht, dass stetig eine zu starke Bedingung ist.
Genauer muss es natürlich heissen:
1. f(x) muss (mindestens stückweise) stetig sein (Bedingung ist erfüllt)
Gruss
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Alles richtig gemacht! Prima!
Faktorregel der Integralrechnung