Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Leon81 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Warum kann man die Dichte niemals negative Werte annehmen? Es ist mir irgendwie schon klar, weil die Ableitung der Dichte mir die Wahrscheinlichkeit angibt und diese ja niemals per Definizion negativ werden kann.
Aber wenn ich 3^(-x) differenziere, bekomme ich ja auch negative Werte raus. Kann mir das jemand mathematisch oder auch nur logisch plausibel machen?
Dankesehr.
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Hallo Leon81,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Warum kann man die Dichte niemals negative Werte annehmen?
Eine der Eigenschaften einer Dichtefunktion ist,
daß sie stets größer oder gleich Null sein muss.
> Es ist mir irgendwie schon klar, weil die Ableitung der
> Dichte mir die Wahrscheinlichkeit angibt und diese ja
> niemals per Definizion negativ werden kann.
> Aber wenn ich 3^(-x) differenziere, bekomme ich ja auch
> negative Werte raus. Kann mir das jemand mathematisch oder
> auch nur logisch plausibel machen?
>
Es ist doch so, daß die Ableitung der Wahrscheinlichkeit die Dichte ist.
> Dankesehr.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Leon81 |
Ja das stimmt ich habe da einen Dreher in der Formulierung gehabt. Aber wenn ich eine positive Funktion nehme. Es sei dann meine Wahrscheinlichkeitsfunktion und ich differenziere diese, dann kann ich doch dennoch eine Funktion bekommen, die negative Werte aufweist.
Siehe Beispiel.
Oder kann ich das einfach so sagen, dass das per Definition gilt?
Danke für den Beitrag.
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Hallo Leon81,
> Ja das stimmt ich habe da einen Dreher in der Formulierung
> gehabt. Aber wenn ich eine positive Funktion nehme. Es sei
> dann meine Wahrscheinlichkeitsfunktion und ich
> differenziere diese, dann kann ich doch dennoch eine
> Funktion bekommen, die negative Werte aufweist.
Dann ist das keine Wahrscheinlichkeitsfunktion,
die Du da differenziert hast.
> Siehe Beispiel.
>
> Oder kann ich das einfach so sagen, dass das per Definition
> gilt?
>
> Danke für den Beitrag.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Leon81 |
Danke für die Antwort.
Also gilt das einfach per Definition.
Und die Funktion im Beispiel kann ich daher ausschließen?
Danke nochmal.
LG
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Hallo,
richtig, die Funktion
[mm] f(x)=3^{-x}
[/mm]
kann keine Dichte sein. ![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du noch einige wichtige Fakten über den Begriff der Dichte nachlesen.
Anmerken möchte ich noch, dass oben in den Antworten wohl ein Fehler steckt (der mir persönlich auch schon oft passiert ist): MathePower meinte mit Sicherheit nicht Wahrscheinlichkeitsfunktion sondern Verteilungsfunktion. Dabei ist die Dichte stets die erste Ableitung der Verteilungsfunktion und umgekehrt die Verteilung einer stetigen ZV gegeben durch
[mm]P(X\le{x})=F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) dt}[/mm]
wobei hier die Funktion f(x) die zugehörige Dichtefunktion ist.
Hilft dir dies weiter, die Begrifflichkeiten zu klären?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 22.12.2011 | | Autor: | Leon81 |
Wird denn überhaupt zwischen Wahrscheinlichkeit und Verteilung unterschieden? Habe das immer so verstanden, dass es ziemlich das Gleiche ist.
LG
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Hier geht es wohl eher um die Unterscheidung zwischen Verteilungsfunktion und Dichte. Wie Diophant schon schrieb, ist die Verteilungsfuktion definiert als [mm] F(x)=P(X\le [/mm] x).
Durch diese Verteilungsfunktion ist die Verteilung, d.h. die Wahrscheinlichkeiten für beliebige messbare Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] eindeutig bestimmt.
Eine Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion. Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten als Integral über die Dichte berechnen, deshalb würden negative Werte keinen Sinn ergeben. Die Dichte wird also nicht abgeleitet, sondern integriert.
Die Bedingung, dass eine Dichte (= Ableitung der Verteilungsfunktion) nicht negativ werden darf, bedeutet, dass die Verteilungsfunktion monoton wachsend sein muss.
Beispiel: Für die Exponentialverteilung (mit Parameter 1) ist die Dichte [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0 eine positive Funktion mit [mm] \int_0^{\infzy}f(x)\,dx=1.
[/mm]
Die Verteilungsfunktion ist dann die Stammfunktion [mm] F(x)=1-e^{-x} [/mm] und für ein Intervall [a,b] mit [mm] 0\le a\le [/mm] b gilt
[mm] P(X\in[a,b])=\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)
[/mm]
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