Dichtefunktion des ind. Maßes < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 09.01.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | Das Intervall [mm] \Omega [/mm] = [ [mm] 0,\infty [/mm] ) sei mit der Dichtefunktion [mm] \lambda e^{-\lambda x} [/mm] zu einem Wahrscheinlichkeitsraum gemacht worden (wobei [mm] \lambda [/mm] > 0).
Die Zufallsvariable X : [mm] \Omega \rightarrow \mathbb_{R} [/mm] sei durch x [mm] \mapsto x^{k} [/mm] definiert, dabei ist k > 0.
Gesucht ist die Dichtefunktion des induzierten Maßes [mm] P_{X}. [/mm] |
Die Dichtefunktion haben wir ( denke ich ) wie folgt definiert gehabt:
[mm] h(x)=\integral_{\gamma}^{\delta}{h(x) dx}=\integral_{X^{-1}(\gamma)}^{X^{-1}(\delta)}{f(x) dx}, \forall [/mm] x [mm] \in [\gamma, \delta]
[/mm]
f(x)= [mm] \lambda e^{-\lambda x}
[/mm]
Jetzt kann ich h(x) = [mm] (F\circ X^{-1})' [/mm] setzen, mit F'=f
[mm] F(x)=-e^{-\lambda x}
[/mm]
[mm] X^{-1}=\wurzel[k]{x}
[/mm]
Um die Dichtefunktion h zu berechnen, werte ich dann folgendes Integral aus:
[mm] \integral_{\gamma}^{\delta}{h(x) dx}=\integral_{\gamma}^{\delta}{(F\circ X^{-1})' dx}=F\circ X^{-1}|_{\gamma}^{\delta}=-e^{-\lambda \wurzel[k]{x}}|_{\gamma}^{\delta} [/mm]
[mm] \gamma=0 [/mm] und [mm] \delta \rightarrow \infty [/mm] :
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty} -e^{-\lambda \wurzel[k]{r}}- -e^{-\lambda \wurzel[k]{0}}=\limes_{r\rightarrow \infty} -e^{-\lambda \wurzel[k]{r}}+1=0+1 [/mm]
[mm] \Longrightarrow [/mm] h(x)=1 ist das richtig?
Vielen Dank für eure Zeit. 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 09.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht kannst du hier etwas Honig saugen.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 11.01.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
Den Thread hab ich mir durchgelesen, der beschäftigt sich aj aber nicht so viel mit dem induzierten Maß.
Ich wollte ja eigentlich nur wissen, ob ich das soweit richtig gemacht habe. Wobei ich vielleicht noch erwähnen sollte, dass h(x) die Dichtefunktion vom induzierten Maß ist.
Oder muss ich jetzt aufgrund des Hinweis
> vielleicht kannst du
> hier etwas Honig
> saugen.
davon ausgehen, dass ich was falsch gemacht habe?
LG Benny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich ueberblicke das nicht so alles. Aber wenn deine Berechnung irgendetwas mit [mm] $\frac{\lambda x^{\frac{1}{k}-1} e^{-\lambda x^{\frac{1}{k}}}}{k}$ [/mm] erbringt, ist alles prima.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Do 27.01.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
Ja, war auch undurchsichtig, weil die eine Definition falsch war.
h(x) also die Dichetfunktion des induzierten Maß ist wie folgt definiert:
[mm] h(x):=(F\circ X^{-1})'
[/mm]
hab das jetzt mal ausgerechnet und komm dann auch genau auf das was du geschrieben hast.
Vielen Dank.
Achso und das h(x) =1 ist war natürlich quatsch von mir, das war ja nur das Integral über die Dichtefunktion und das muss 1 sein.
|
|
|
|
