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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable und folge einer Weibull-Verteilung mit Parametern $\alpha > 0$ und $\beta > 0$, d.h. mit Dichte
$f(x)=\alpha \beta x^{\beta-1}\exp(-\alpha x^{\beta})I(x \ge 0).$
Welcher Verteilung folgt $Y=X^{\beta}$? Bestimmen Sie hierzu die Dichte von Y und suchen Sie diese im Vorlesungsskript. |
Hallo,
ich kann bei dieser Lösung nur die Zeile $ Y=g(X)=X^{\beta} \gdw X=g(X)^{\beta} \gdw g^{-1}(X) \gdw g^{-1}(Y) = Y^{\bruch{1}{\beta}} $ nicht nachvollziehen. Das Ende dieser Zeile $g^{-1}(Y) = Y^{\bruch{1}{\beta}}$ leuchtet mir ein, ich sehe nur nicht, warum man X und g(X) einfach vertauschen darf (nach dem ersten $\gdw$), denn das grenzt doch an Pfuscherei... Wie seht Ihr das?
Hier ist die vollständige Lösung:
Dichtetransformationssatz, welcher beschreibt, wie man auf einfache Weise die Dichtefunktion von $Y=g(X)$ berechnen kann:
Sei g streng monoton und differenzierbar. Dann kann man die Dichte $f_{Y}(y)$ mit Hilfe des Transformationssatzes berechnen:
$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))*\underbrace {\left| \bruch{dg^{-1}(y)}{dy} \right|}_{g^{-1}'(y)}$
$Y=g(X)=X^{\beta} \gdw X=g(X)^{\beta} \gdw g^{-1}(X) \gdw g^{-1}(Y) = Y^{\bruch{1}{\beta}}$
$\bruch{dg^{-1}(y)}{dy}=\bruch{1}{\beta}*Y^{\bruch{1}{\beta}-1}=\bruch{1}{\beta}*Y^{\bruch{1}{\beta}}*Y^{-1}$
$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))*\underbrace {\left| \bruch{dg^{-1}(y)}{dy} \right|}_{g^{-1}'(y)}=$
$=\alpha*\beta(Y^{\bruch{1}{\beta}})^{\beta -1}*\exp(-\alpha(Y^{\bruch{1}{\beta}})^{\beta})*\bruch{1}{\beta}*Y^{\bruch{1}{\beta}}}*Y^{-1}=$
$=\alpha*\beta*Y^{\bruch{\beta-1}{\beta}}*\exp(-\alpha*Y)*\bruch{1}{\beta}*Y^{\bruch{1}{\beta}}*Y^{-1}=$
$=\alpha*Y*Y^{-\bruch{1}{\beta}}*\exp(-\alpha*Y)*Y^{\bruch{1}{\beta}}*Y^{-1}=$
$=\alpha*\exp(-\alpha*Y)$
$\Rightarrow$ exponentialverteilt mit $\lambda=\alpha$
Vielen Dank für Eure Mühe!
Gruß
el_grecco
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Hallo,
ich hab jetzt mal ein bisschen rumgerechnet und die Zeile ist offensichtlich falsch.
Beispielsweise kann die Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] nicht richtig sein, denn wäre [mm] $X=g(x)^{\beta}$ [/mm] so wäre [mm] $Y^{\beta}=g(X)^{\beta}=X$, [/mm] dabei sollte das ja genau anders herum.
Was da ja ausgerechnet werden soll, ist die Umkehrfunktion der Abbildung [mm] $x\rightarrow x^{\beta}$. [/mm] Die ist bei dieser Transformation ziemlich offensichtlich, des es gilt ja: die Funktion $f: x [mm] \rightarrow x^{\beta}$ [/mm] ist bijektiv mit Umkehrabbildung $g: [mm] x\rightarrow x^{\frac{1}{\beta}}$ [/mm] für [mm] $\beta [/mm] > 0$
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Mo 01.08.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo blascowitz,
vielen Dank für Deine Antwort.
Es ist echt traurig, was manche Übungsleiter fabrizieren...
Gruß
el_grecco
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