Die Euler Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 So 06.12.2009 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Es sei [mm] e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}.
[/mm]
Zeigen Sie dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] gegen e konvergiert. |
Nabend!
Ich weiß dass ich:
1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}
[/mm]
2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}\ge \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}
[/mm]
zeigen muss, damit die Aufgabe gelöst ist.
Schritt 1) habe ich glaub ich erstmal durch den Binomischen Lehrsatz umgeformt:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}1^{n-k}(\bruch{1}{n})^{k}=1+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n\\ k}\bruch{1}{n^{k}}=1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-k+1)*...*n}{k!}*\bruch{1}{n^{k}}
[/mm]
Jetzt fehlt mir leider der Punkt, in dem ich zeige dass das [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] ist.
Bei 2) hab ich keine wirkliche Idee.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Gruß
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Hallo Lyrn,
musst Du heute Nacht noch ein ganzes Grundstudium absolvieren? 
> Es sei [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm]
> Zeigen Sie dass die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] gegen e konvergiert.
> Nabend!
> Ich weiß dass ich:
> 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
>
> 2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}\ge \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
>
> zeigen muss, damit die Aufgabe gelöst ist.
Woher weißt Du das denn?
> Schritt 1) habe ich glaub ich erstmal durch den Binomischen
> Lehrsatz umgeformt:
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}1^{n-k}(\bruch{1}{n})^{k}=1+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n\\ k}\bruch{1}{n^{k}}=1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-k+1)*...*n}{k!}*\bruch{1}{n^{k}}[/mm]
Und woher weißt Du, dass dieser Ansatz für Schritt 1 gut ist und nicht für Schritt 2?
> Jetzt fehlt mir leider der Punkt, in dem ich zeige dass das
> [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
> ist.
Will heißen, auch wenn Du [mm] \ge [/mm] nachweisen könntest, wärst Du ja schon weiter. Aber Du liegst richtig, das ist ein Ansatz für Schritt 1.
zu zeigen:
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{(n-k+1)*...*n}{k!}*\bruch{1}{n^{k}}\le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{\produkt_{i=0}^{k-1}(n-i)}{\produkt_{i=0}^{k-1}n}*\bruch{1}{k!}\le 1+\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Das wars doch eigentlich schon. Es ist [mm] \bruch{n-i}{n}\le{1} [/mm] fehlt noch der Grenzübergang, aber sonst: fertig.
> Bei 2) hab ich keine wirkliche Idee.
Na dann noch ein Tipp: [mm] \limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{\red{n+1}}=\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{\red{n}}=e
[/mm]
Es wird reichen, das gleiche wie eben zu rechnen, aber den Exponenten um 1 zu erhöhen. Verlier aber nicht den Überblick, was sich in der Rechnung dann ändert.
> Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
>
> Gruß
Viel Erfolg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:30 So 06.12.2009 | | Autor: | Lyrn |
Hey, danke erstmal für deine Hilfe mitten in der Nacht :D
> Woher weißt Du das denn?
Unsere Tutorin meinte wir sollen das so zeigen :)
> fehlt noch der Grenzübergang, aber sonst: fertig.
Was meinst genau mit Grenzübergang? Wir haben ja im Prinzip gezeigt dass [mm] \bruch{n-i}{n}\le [/mm] 1 ist und damit der linke Teil immer [mm] \le [/mm] dem rechten ist. Das sollte doch eigentlich für 1) reichen oder überseh ich das was?
> Na dann noch ein Tipp:
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{\red{n+1}}=\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{\red{n}}=e[/mm]
>
> Es wird reichen, das gleiche wie eben zu rechnen, aber den
> Exponenten um 1 zu erhöhen.
Unsere Tutorin meinte wir sollen [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}=\summe_{k=0}^{\red n}? \ge \summe_{k=0}^{\red m}? [/mm] für n [mm] \ge [/mm] m zeigen. Dabei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] betrachten [mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\red m} \bruch{1}{k!} [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] ???. Das wär doch dein Ansatz für den Fall n>m und n=m oder?
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Hallo Lyrn,
> Hey, danke erstmal für deine Hilfe mitten in der Nacht :D
In meiner Zeitzone nicht. Da ist es noch vor 3 Uhr.
> > Woher weißt Du das denn?
> Unsere Tutorin meinte wir sollen das so zeigen :)
Aha. Nette Tutorin.
> > fehlt noch der Grenzübergang, aber sonst: fertig.
>
> Was meinst genau mit Grenzübergang? Wir haben ja im
> Prinzip gezeigt dass [mm]\bruch{n-i}{n}\le[/mm] 1 ist und damit der
> linke Teil immer [mm]\le[/mm] dem rechten ist. Das sollte doch
> eigentlich für 1) reichen oder überseh ich das was?
Na, Du untersuchst einen Grenzwert. Da ist es immer besser, die erreichte Umformung am Ende nochmal darauf zu überprüfen, ob sie auch den Grenzübergang verträgt. Aber im Prinzip hast Du schon recht.
> > Na dann noch ein Tipp:
> >
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{\red{n+1}}=\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{\red{n}}=e[/mm]
> >
> > Es wird reichen, das gleiche wie eben zu rechnen, aber den
> > Exponenten um 1 zu erhöhen.
>
> Unsere Tutorin meinte wir sollen
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}=\summe_{k=0}^{\red n}? \ge \summe_{k=0}^{\red m}?[/mm]
> für n [mm]\ge[/mm] m zeigen. Dabei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> betrachten [mm]\Rightarrow \summe_{k=0}^{\red m} \bruch{1}{k!}[/mm]
> beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] ???. Das wär doch dein Ansatz für
> den Fall n>m und n=m oder?
Nur für den Fall n=m+1, aber der würde hier auch reichen.
Der Witz an der Sache ist, dass [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] monoton wachsend, [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1} [/mm] aber monoton fallend ist - und beide gegen e konvergieren.
lg
rev
Nachtrag: es gilt allgemein
[mm] \blue{\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+k}={\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n-k}=e}}
[/mm]
für jedes feste [mm] \blue{k\in\IN}. [/mm]
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