Die "Ordnung" eines Moduls < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei [mm]p \in \IZ [/mm] eine Primzahl. Zeigen Sie, dass [mm]M = \IZ / \ p^2 \IZ [/mm] ein zyklischer [mm]\IZ[/mm]-Modul ist und dass M genau einen [mm]\IZ[/mm]-Untermodul [mm]N_1[/mm] der Ordnung p enthält. |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Eigentlich dreht es sich auch nur darum, was ich unter der "Ordnung p" zu verstehen habe. Exakt diesen Begriff haben wir in der Vorlesung nämlich nicht erklärt. Den Beweis konnte ich dann allerdings durchführen, als ich davon ausgegangen bin, dass die Ordnung p bedeutet, dass in dem Untermodul p Elemente enthalten sind und p der Erzeuger des Anulators vom Untermodul ist (intuitiv würde ich sagen, dass das hier sogar äquivalent ist, ohne es jetzt aber genau zu wissen).
Liege ich da richtig?
Danke und lieben Gruß - devilsdoormat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
ordnung wird hier genau so verwendet wie für gruppen. ein modul hat also ordnung $m$ genau dann wenn er $m$ elemente enthält.
in diesem spezialfall ist dies zwar äquivalent dazu, dass der annulator von $p$ erzeugt wird, aber das ist im allgemeien nicht so: etwa enthält der [mm] $\mathbb{Z}$-modul [/mm] $ M = [mm] {}^{\displaystyle \mathbb{Z}}/_{\displaystyle p\mathbb{Z}} \times {}^{\displaystyle \mathbb{Z}}/_{\displaystyle p\mathbb{Z}}$ [/mm] genau [mm] $p^2$ [/mm] elemente sein annulator wird aber auch von $p$ erzeugt.
grüße
andreas
|
|
|
|
