Die vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | Man beweise für alle n [mm] \in \IN [/mm] :
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3}n(n+1)(n+2) [/mm] |
Hallo an alle!
Ich bin ein Studienneuling und anscheinend nicht besonders begabt in Analysis. Wir haben unsere erste Aufgabe bekommen, und ich stehe hier bereits an. Und zwar muss ich mit Hilfe der vollständigen Induktion die obige Formel beweisen!
Schritt 1 habe ich geschafft, indem ich für n = 1 eingesetzt habe:
2 = 1/3 * 2 * 3
2 = 2
Schritt 2 habe ich auch noch geschafft, mit n = n+1
1/3 (n+1)(n+2)(n+3)
Für k muss ich ja nicht n+1 einsetzen, oder?
Und hier nun meine eigentlich Frage: Was mache ich jetzt genau in Schritt 3? Leider habe ich in der Vorlesung nicht kapiert, was ich jetzt machen muss ... ? Hoffe ihr könnt mir das sagen! Danke,
lg Ines
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ines,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Im Induktionsschritt musst Du nun zeigen, dass gilt:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n+1}k*(k+1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*(n+1)*(n+2)*(n+3)$$
[/mm]
Dafür musst Du die Induktionsvoraussetzung [mm] $\summe_{k=1}^{n}k*(k+1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*n*(n+1)*(n+2)$ [/mm] verwenden:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n+1}k*(k+1) [/mm] \ = \ [mm] \red{\summe_{k=1}^{n}k*(k+1)}+\blue{\summe_{k=n+1}^{n+1}k*(k+1) }\ [/mm] = \ [mm] \red{\bruch{1}{3}*n*(n+1)*(n+2)}+\blue{(n+1)*(n+2)} [/mm] \ = \ ...$$
Nun hier zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 08.10.2007 | | Autor: | at2 |
hallo loddar, ich habe es mal versuch zu lösen, hoffe es hilft dir weiter,
denn ersten schritt hast du ja schon richtig gemacht.
nehmen wir an ,dass es mit [mm] n\in\IN\ [/mm] richtig ist, also
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] n(n+1)(n+2)
jetzt müssen wir beweisen ,dass es auch mit n+1 stimmt , hier bei änderts du nichts an k. also :
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (n+1)(n+2)(n+3)
betrachten wir nur die linke Seite haben wir:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1) + (n+1)(n+2).
weil: [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] n(n+1)(n+2)
da Anfangsbedingung.haben wir:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2).
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = [mm] (n+1)(n+2)\left( \bruch{1}{3}n + 1 \right).
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (n+1)(n+2)(n+3)
hoffe es nützt dir was.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
Hi!
Erstmal großes Danke für die ausführliche und schnelle Antwort, jetzt ist mir glaub ich teilweise ein Licht aufgegangen! :) Zumindest weiß ich jetzt was ich zu tun habe.
Hätte aber trotzdem noch eine Frage zu deinen letzten 3 Rechenschritten:
1) Wie kommst du von
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = [mm] \bruch{1}{3}n(n+1)(n+2) [/mm] + (n+1)(n+2)
auf:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = (n+1)(n+2) [mm] (\bruch{1}{3}n+1)
[/mm]
hebst du (n+1) und (n+2) heraus, oder?
----------
2) Und dieser Schritt ist mir auch noch nicht ganz klar:
Von:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = (n+1)(n+2) [mm] (\bruch{1}{3}n+1)
[/mm]
auf:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k(k+1) = (n+1)(n+2)(n+3)
Vielleicht könntest du mir diese Umwandlungen erklären, wäre echt super! Vielen Dank,
lg Ines
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 08.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Ines
> Hätte aber trotzdem noch eine Frage zu deinen letzten 3
> Rechenschritten:
>
> 1) Wie kommst du von
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k(k+1) = [mm]\bruch{1}{3}n(n+1)(n+2)[/mm] +
> (n+1)(n+2)
>
> auf:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k(k+1) = (n+1)(n+2) [mm](\bruch{1}{3}n+1)[/mm]
>
> hebst du (n+1) und (n+2) heraus, oder?
rausheben ist der falsche Ausdruck, Loddar hat ausgeklammert.
wenn man ungeübt im Rechnen ist sieht man das nicht so schnell.
bei 1/3*n*5*6+5*6 hättest du sicher gesehen, dass man 5*6 ausklammern kann oder erst 5 und dann noch 6.
Du musst immer versuchen gleichr Faktoren zu sehen, auch wenn es längere Ausdrücke sind, denn Ausklammern hilft oft beim Umformen.
> ----------
> 2) Und dieser Schritt ist mir auch noch nicht ganz klar:
> Von:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k(k+1) = (n+1)(n+2) [mm](\bruch{1}{3}n+1)[/mm]
>
> auf:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k(k+1) = (n+1)(n+2)(n+3)
da hast du das 1/3 vor dem Ausdruck vergesen. auch hier wurde aus [mm] (\bruch{1}{3}n+1) [/mm] 1/3 ausgeklammert (bruch{1}{3}n+1)=(bruch{1}{3}n*bruch{3}{3})=bruch{1}{3}*(n+3)
hier ist klar, dass man ausklammern muss, weil man ja das Ziel, on dem (n+3) vorkommt im Auge behalten muss.
Gruss leduart
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