Diff.-Rechnung mehrerer Veränd < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine allgemeine Frage zur Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher.
Ich will eine sinnvolle Verbindung zu der mir bekannten Rechnung mit einer Veränderlichen herstellen.
Mir ist klar, dass man bei einer Veränderlichen folgendes erreichen will:
Zu der Funktion f eine Funktion f' bauen, die für die Stelle x eben nicht das f(x) berechnet, sondern eine Funktionsbeschreibung für eine lineare Abbildung, die dann den gesamten Wertebereich von f approximiert, aber in der Umgebung von x am genauesten ist.
Da f eine Funktion von IR nach IR ist, müsste auch die zu x gehörende lineare Abbildung g (nicht zu verwechseln mit f') eine solche sein, denn sie soll f ja approximieren.
Zu f' müsste man sich eigentlich erst klar machen, dass es sich um eine Abbildung von IR in den Raum der 1x1-Matrizen handelt. Da der Raum der 1x1-Matrizen aber genauso aussieht wie IR selbst, spricht man bei f' auch von einer Abbildung von IR nach IR. So verstehe ich das.
Die Funktion f(x) = [mm] x^{2}, [/mm] f: IR [mm] \to [/mm] IR, hat als Ableitung also f'(x) = (2x), f': IR [mm] \to [/mm] {M | M ist 1x1-Matrix}. (2x) ist dabei die Matrix, die man erhält, wenn man f mit "Vorliebe" für die Stelle x approximieren will. Natürlich hängt diese Matrix dann ja von x ab. Ist x = 3, so erhält man für f'(3) = (6). Die Matrix (6) beschreibt eine lineare Abbildung von IR nach IR, die Abbilung kann man auch so beschreiben:
g: IR [mm] \to [/mm] IR, g(x) = (6) * x.
Wenn ich das nun auf mehrere Veränderliche übertrage, bin ich mir aber nicht ganz sicher, ob ich das dann richtig verstanden habe.
Man teilt sich die Funktion F: [mm] IR^{n} \to IR^{m} [/mm] ja ein in mehrere Funktionen [mm] F_{1} [/mm] bis [mm] F_{m}, [/mm] berechnet die partiellen Ableitungen davon, und baut sich aus den Gradienten eine Matrix.
Und jetzt ist die Frage, wie ich diese Matrix dann verstehen soll. Wenn ich so wie oben argumentiere, ist die Matrix für mich dann der Funktionsterm für F'(x). F' ist dann doch analog wieder eine Funkion von [mm] IR^{n}, [/mm] diesmal in den Raum der mxn-Matrizen. Für jedes x erhalten wir also eine lineare Abbildung G: [mm] IR^{n} \to IR^{m}, [/mm] die die Funktion F mit "Vorliebe" für x approximiert. Die Vorschrift von G müsste dann so aussehen:
G(a) = F'(x) a, wobei F'(x) eine mxn-Matrix ist, die wir erhalten, wenn wir x in F' einsetzen. Wir müssen also einen Wert a immer mit der Matrix für ein bestimmtes, festes x Multiplizieren, um den approximierenden Wert zu erhalten. Soweit wäre mir alles klar und total logisch.
Kann mir jemand sagen, ob das alles so richtig ist?
Und noch ein zweites:
Zählen alle Geraden auch zu den linearen Abbildungen? Im Mathe-Volksmund scheint das ja so zu sein, aber wie soll dann bitteschön die Matrix zu l: IR [mm] \to [/mm] IR, l(x) = x + 7 aussehen? Müsste ja theoretisch die 1x1-Matrix (8) sein, also das Bild der Basis von IR, sprich von {1}. 8 mal z.B. 3 ist aber 21 not= 10 = 3 + 7. Ich würde dann annehmen, dass nur die Geraden durch den Ursprung lineare Abbildungen darstellen, was die IR nach IR Abbildungen angeht. Ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Kann mir jemand sagen, ob das alles so richtig ist?
Hallo,
ich kann das leider nicht...
> Und noch ein zweites:
> Zählen alle Geraden auch zu den linearen Abbildungen? Im
> Mathe-Volksmund scheint das ja so zu sein, aber wie soll
> dann bitteschön die Matrix zu l: IR [mm]\to[/mm] IR, l(x) = x + 7
> aussehen? Müsste ja theoretisch die 1x1-Matrix (8) sein,
> also das Bild der Basis von IR, sprich von {1}. 8 mal z.B.
> 3 ist aber 21 not= 10 = 3 + 7. Ich würde dann annehmen,
> dass nur die Geraden durch den Ursprung lineare Abbildungen
> darstellen, was die IR nach IR Abbildungen angeht. Ist das
> richtig?
Nur die Abbildung f(x)=mx ist eine lineare Abbildung.
Die Abbildung g(x)=mx+b ist eine affine Abbildung.
Affine Abbildung: lineare Abb. + Translation.
Gruß v. Angela
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Das ist auch gut zu wissen. Danke. So kann ich mir das mit der affinen Abbildung viel besser merken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 31.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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