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Forum "Differentiation" - Diff.-bark. von Fkt und Umkehr
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Diff.-bark. von Fkt und Umkehr: auch Umkehrfkt.
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:34 Fr 12.12.2008
Autor: Ultio

Aufgabe
Aufgabe 1:
(a) Zeigen Sie, dass f(x) := 1/p  [mm] |x|^{p} [/mm] für p > 1 auf ganz R diff.-bar  mit Ableitung f'(x) := {  [mm] |x|^{p-2} [/mm] * x, x nicht 0 und 0  für x = 0 }
ist.
Ist f(x) konvex?
(b) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion arccos: (-1,1) [mm] \Rightarrow (0,\pi) [/mm] und arcsinh:R-->R!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,
Kann mir mal jemand sagen ob das so wie es hier steht richtig ist? Wenn nicht sagt mir mal bitte was ich ändern muss?
Vielen Dank schon einmal im Vorraus!
mfg Ultio


(a)
f(x) := 1/p  [mm] |x|^{p} [/mm] für p > 1  --> g(x) = {1/p * [mm] x^p} [/mm] für p > 1

g'(x) = |1/p  * p   * [mm] x^{p}| [/mm] =               [mm] |x^{p-1}| [/mm]

f'(x)  = [mm] |x|^{p-2} [/mm] * x [mm] =|x^{p}|/|x|*x [/mm] = [mm] |x^{p-1}| [/mm]

daraus folgt f'(x) = g'(x)

Ableitung existiert also ist sie bis auf in dem Punkt 0 diff.-bar, da [mm] |x^p|/|x|. [/mm]

Zudem ist f(x) konvex, da f''(x) und somit auch g''(x)>0 sein muss:
g''(x) = |p * [mm] x^{p-2}| [/mm] >0 (f'(x)=g'(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f''(x)=g''(x))



(b)

(arccos(y))' = 1 /(-sin (arccos(y)))
da [mm] (sin(x)^2 [/mm] + [mm] cos(x)^2)^{1/2}=1 \Rightarrow [/mm] (1 - [mm] cos(x)^2)^{1/2}=sin [/mm]
also:
(arccos(y))' = 1 /(-sin (arccos(y))) = 1 /(-[(1 - [mm] cos(arccos(y))^2)^{1/2}]) [/mm]
= 1/ [mm] (-[(1-y^2)^{1/2}]) [/mm]

(arcsinh(y))' =  1 /(cosh (arcsinh(y)))
da [mm] (sinh(x)^2 [/mm] + [mm] cosh(x)^2)^{1/2}=1 \Rightarrow [/mm] (1 - [mm] sinh(x)^2)^{1/2}=cosh [/mm]
also:
(arcsinh(y))' = 1 /(cosh(arcsinh(y))) = 1 /((1 - [mm] sinh(arcsinh(y))^2)^{1/2}) [/mm]
= 1/ [mm] ((1-y^2)^{1/2}) [/mm]
        
Bezug
Diff.-bark. von Fkt und Umkehr: zu (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Sa 13.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Felix,

wieder mal großartig aufgeschrieben von dir!

Benutze die Vorschaufunktion und den Formeleditor, damit sind fast alle Formeln bestens und auch sehr einfach darstellbar

> Aufgabe 1:

> (b) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion arccos:
> (-1,1) [mm] $\Rightarrow (0,\pi)$ [/mm] und arcsinh:R-->R!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo,
>  Kann mir mal jemand sagen ob das so wie es hier steht
> richtig ist? Wenn nicht sagt mir mal bitte was ich ändern
> muss?
> Vielen Dank schon einmal im Vorraus!
>  mfg Ultio
>  
>

> (b)
>  
> (arccos(y))' = 1 /(-sin (arccos(y)))
>  da [mm] $(sin(x)^2+cos(x)^2)=1 \Rightarrow(1 -cos(x)^2)^{1/2}=sin\red{(x)}$ [/mm] [ok]

>  also:
>  (arccos(y))' = 1 /(-sin (arccos(y))) = 1 /(-[(1 -
> [mm]cos(arccos(y))^2)^{1/2}])[/mm]
> = 1/ [mm](-[(1-y^2)^{1/2}])[/mm] [ok]

[mm] $=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ [/mm]

>  
> (arcsinh(y))' =  1 /(cosh (arcsinh(y)))
>  da [mm] $(sinh(x)^2+cosh(x)^2)^{1/2}=1 \Rightarrow [/mm] (1 - [mm] sinh(x)^2)^{1/2}=cosh\red{(x)} [/mm] [notok]

Es ist [mm] $\cosh^2(x)\red{-}\sinh^2(x)=1\Rightarrow \cosh(x)=\sqrt{1\red{+}\sinh^2(x)}$ [/mm]

Rechne damit nochmal neu

>  also:
>  (arcsinh(y))' = 1 /(cosh(arcsinh(y))) = 1 /((1 -
> [mm]sinh(arcsinh(y))^2)^{1/2})[/mm]
> = 1/ [mm]((1-y^2)^{1/2})[/mm][notok]
>  


LG

schachuzipus
Bezug
        
Bezug
Diff.-bark. von Fkt und Umkehr: und 1a?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Sa 13.12.2008
Autor: Ultio

danke in b hab ich meinen Fehler verstanden und ist a richtig?
Bezug
                
Bezug
Diff.-bark. von Fkt und Umkehr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Sa 13.12.2008
Autor: reverend

Kann ich nicht sagen. Es will mir nicht gelingen, Deine Rechnung nachzuvollziehen, da schon die Aufgabenstellung nicht klar ist.

In mathematischer Notation wäre das wahrscheinlich eindeutig zu entscheiden. Da kann auch ich nur noch einmal den Formeleditor empfehlen. In der jetzigen Darstellungsform ist mir das zu viel Rätselraten.
Bezug
                        
Bezug
Diff.-bark. von Fkt und Umkehr: Neue Notation zu a
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:28 Sa 13.12.2008
Autor: Ultio

Die Aufgabe steht ziemlich genau so auf dem Zettel von mir:
Lösungsweg kann ich kaum umschreiben da so mein lösungsweg aussieht und die wenigen Brüche die vorhanden sind irgendwie mit den ganzen Betrag- strichen nicht anzeigen will.Sry, aber danke wenn und dass ihr euch das mal anschaut/angeschaut habt:
(a)

f(x) := 1/p  * [mm] |x|^{p} [/mm]            für p > 1  

--> g(x) = 1/p *  [mm] x^{p} [/mm]       für p > 1


g'(x) = |1/p  * p   *  [mm] x^{p}| [/mm]  =  [mm] |x^{p-1}| [/mm]

f'(x)  = [mm] |x|^{p-2} [/mm] * x  = ( [mm] |x^{p}| [/mm] / |x|  )  * x  =  [mm] |x^{p-1}| [/mm]

daraus folgt f'(x) = g'(x)

Ableitung existiert, also ist sie bis auf in dem Punkt 0 diff.-bar, da  [mm] |x^p|/|x|. [/mm]

Zudem ist f(x) konvex, da f''(x) und somit auch g''(x)>0 sein muss:
g''(x) = |p * [mm] x^{p-2}| [/mm] >0

(denn wenn f'(x)=g'(x) muss f''(x)=g''(x) sein oder nicht?)
Bezug
        
Bezug
Diff.-bark. von Fkt und Umkehr: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 15.12.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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