Diff. Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Do 29.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Find die allg. Lösung der Diff.-Gleichung durch Separation:
2y'=3y+4 |
Guten Abend,
Ich hätte eine kurze Frage zur Vorhensweise.
Zunächst wandle ich doch meine Diff-Gleichung in die Form um, dass ich auf der rechten Seite ein Produkt aus zwei Termen habe, von denen einer kein x und der andere kein y enthält:
[mm] y'=\frac{1}{2}\cdot(3y+4)
[/mm]
Die Diff-Gleichung ist also separabel (geht ja schon aus der Aufgabenstellung hervor).
Nun bringe ich alle y Terme auf die linke Seite und alles andere auf die Rechte.
Mein Problem ist nun, dass es ja verschiedene Möglichkeiten gibt das zu tun.
Man könnte das zum einen so machen:
[mm] \frac{1}{y+\frac{4}{3}}dy=\frac{3}{2}dx
[/mm]
oder so:
[mm] \frac{1}{3y+4}dy=\frac{1}{2}dx
[/mm]
Gibt es irgendeine Regel, die besagt, wie die Koeffizienten vor dem y auszusehen haben? Also muss da immer eine 1 stehen oder ist es egal?
Für beide Varianten kommen nämlich unterschiedliche Ergebnisse heraus und ich frage mich was nun richtig ist?
Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen
Gruß Hans
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Hallo Hans80,
> Find die allg. Lösung der Diff.-Gleichung durch
> Separation:
>
> 2y'=3y+4
> Guten Abend,
>
> Ich hätte eine kurze Frage zur Vorhensweise.
>
>
> Zunächst wandle ich doch meine Diff-Gleichung in die Form
> um, dass ich auf der rechten Seite ein Produkt aus zwei
> Termen habe, von denen einer kein x und der andere kein y
> enthält:
>
> [mm]y'=\frac{1}{2}\cdot(3y+4)[/mm]
>
> Die Diff-Gleichung ist also separabel (geht ja schon aus
> der Aufgabenstellung hervor).
> Nun bringe ich alle y Terme auf die linke Seite und alles
> andere auf die Rechte.
> Mein Problem ist nun, dass es ja verschiedene
> Möglichkeiten gibt das zu tun.
>
> Man könnte das zum einen so machen:
>
> [mm]\frac{1}{y+\frac{4}{3}}dy=\frac{3}{2}dx[/mm]
[mm]\int \frac{1}{y+\frac{4}{3}} \; dy \; = \; \frac{3}{2} \; \int dx[/mm]
$ln [mm] \left|y+\frac{4}{3} \right| \; [/mm] = [mm] \; \frac{3}{2}*x+ln|C_1|$
[/mm]
[mm] $y+\frac{4}{3} \; [/mm] = [mm] \; C*e^{1,5*x}$
[/mm]
[mm] $y\; [/mm] = [mm] \;C*e^{1,5*x}-\frac{4}{3} [/mm] $
> oder so:
>
> [mm]\frac{1}{3y+4}dy=\frac{1}{2}dx[/mm]
[mm]\int \frac{1}{3y+4} \; dy \; = \; \frac{1}{2} \int dx[/mm]
[mm] $\frac{1}{3}*ln|3y+4| \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{2}*x+ln|C_5|$
[/mm]
$ln|3y+4| [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{3}{2}*x+ln|C_4|$
[/mm]
$3y+4 [mm] \; [/mm] = [mm] \;C_3*e^{1,5*x} [/mm] $
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \;\frac{C_3}{3}*e^{1,5*x}-\frac{4}{3} [/mm] $
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \;C*e^{1,5*x}-\frac{4}{3} [/mm] $
>
> Gibt es irgendeine Regel, die besagt, wie die Koeffizienten
> vor dem y auszusehen haben? Also muss da immer eine 1
> stehen oder ist es egal?
>
> Für beide Varianten kommen nämlich unterschiedliche
> Ergebnisse heraus und ich frage mich was nun richtig ist?
>
> Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen
>
> Gruß Hans
LG, Martinius
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