Diff.bare Mannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Do 26.04.2012 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Sei $X$ diff.bare Mannigfaltigkeit, $U [mm] \subset [/mm] X$ offen, $V [mm] \subset [/mm] U$ offen, sodass der Abschluss von $V$ bezüglich $X$ kompakt ist und ganz in $U$ liegt. Sei dann $f [mm] \in C^{\infty}(X), f|_U [/mm] = 0$, da gibt es $g,h [mm] \in C^\infty(X)$, [/mm] sodass $f=gh$ und [mm] $g|_V [/mm] = 0 = [mm] h|_V$. [/mm] |
Hallo,
mein einziger Ansatz zu der Aufgabe war, dass ist $h=f$ wähle, dann gilt ja sicher [mm] $h|_V [/mm] = 0$, da $V [mm] \subset [/mm] U$ und [mm] $f|_U [/mm] = 0$. Dann möchte ich g so konstruieren, dass [mm] $g|_{X\U} \equiv [/mm] 1$ und [mm] $g|_{V} [/mm] = 0$. Ich wähle sogar [mm] $g|_{\overline{V}} \equiv [/mm] 0$. Da [mm] $\overline{V}$ [/mm] ganz in $U$ liegt, müsste ich $g$ doch differenzierbar auf [mm] $U\backslash\overline{V}$ [/mm] fortsetzten können und es würde $f=gh$ gelten. Wie kann ich das sauber begründen? Oder muss ich ganz anders ran gehen?
Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Sa 28.04.2012 | | Autor: | SEcki |
> Da [mm]\overline{V}[/mm] ganz in [mm]U[/mm] liegt, müsste ich [mm]g[/mm] doch
> differenzierbar auf [mm]U\backslash\overline{V}[/mm] fortsetzten
> können
Das geht sicher - aber deine Fortsetzung hat weitere Bedingungen!
> und es würde [mm]f=gh[/mm] gelten.
Warum?
> Wie kann ich das sauber
> begründen? Oder muss ich ganz anders ran gehen?
Ist schon die richtige Richtung - aber was weißt du alles über Fortsetzungen? Buckelfunktionen sind da auch ein heißer Tip!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Lippel |
Hallo Secki, danke für deine Hinweise.
> > Da [mm]\overline{V}[/mm] ganz in [mm]U[/mm] liegt, müsste ich [mm]g[/mm] doch
> > differenzierbar auf [mm]U\backslash\overline{V}[/mm] fortsetzten
> > können
>
> Das geht sicher - aber deine Fortsetzung hat weitere
> Bedingungen!
Hier komm ich leider nicht drauf was du meinst. Aber ich versuche es mit deinem Hinweis zu Buckelfunktionen nochmal genauer.
Wir wählen zunächst [mm] $\forall [/mm] p [mm] \in [/mm] V$ eine Karte [mm] $h_p:U_p \to [/mm] U'_p [mm] \subset \IR^n$, [/mm] oBdA [mm] $h_p(p)=0 \;\forall [/mm] p [mm] \in [/mm] V$, und ein [mm] $\epsilon_p [/mm] > 0$, sodass [mm] $U_{\epsilon_p}(0) \subset [/mm] U'_p$ und [mm] $U_{2\epsilon_p}(0) \subset [/mm] U$. Ersteres ist möglich aufgrund der Definition von Karten von Mannigfaltigkeiten, letzteres, da der Abschluss von $V$ kompakt in U enthalten ist. Aufgrund der Definition von Offenheit gibt es dann ein solches [mm] $\epsilon_p$.
[/mm]
Nun zu den Buckelfunktionen: wir definieren zunächst [mm] $\lambda: \IR \to \IR^+_0$ [/mm] mit [mm] $\lambda(x)=0$ [/mm] für $x<0$ und [mm] $\lambda(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ [/mm] für [mm] $x\geq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \lambda \in C^\infty(\IR)$. [/mm] Man zeigt einfach, dass die Differenzenquotienten in $x=0$ alle gegen $0$ konvergieren. Damit ist dann auch [mm] $\mu:\IR^n \to \IR^+_0, [/mm] x [mm] \mapsto \lambda(1-x)\lambda(1+x) \in C^\infty(\IR)$ [/mm] und hat kompakten Träger $[-1,1]$.
Nun definieren [mm] $\forall [/mm] p [mm] \in [/mm] V$ die Funktion [mm] $\sigma_p:X \to \IR^+_0$ [/mm] mit [mm] $\sigma_p(x)=\mu(\frac{||h_p(x)||}{\epsilon_p}) \;\forall [/mm] x [mm] \in U_p [/mm] $ und [mm] $\sigma_p(x)=0$ [/mm] sonst. Der Träger aller dieser Funktionen ist somit in $U$ enthalten aufgrund der obigen Wahl von [mm] $\epsilon_p$.
[/mm]
Nun ist [mm] \bigcup_{p \in V} \sigma_p^{-1}(\IR^+) [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $\overline{V}$ [/mm] (die jedoch enthalten ist in $U$) und wir können eine endliche Teilüberdeckung auswählen [mm] $\bigcup_{i=1}^{n}\sigma_{p_i}^{-1}(\IR^+)$. [/mm] Damit ist insbesondere die Summe [mm] $\summe_{i=1}^n \sigma_{p_i}(x) [/mm] > 0 [mm] \;\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V$ und somit [mm] $\tau_i: [/mm] X [mm] \to \IR^+_0$ [/mm] mit [mm] $\tau_i(x)=\frac{\sigma_{p_i}(x)}{\summe_{i=1}^n \sigma__{p_i}(x)}$ [/mm] für $x [mm] \in \bigcup_{p \in V} \sigma_p^{-1}(\IR^+)$ [/mm] und [mm] $\tau_i(x)=0$ [/mm] sonst.
Nun setzten wir letztlich [mm] $g(x):=1-\summe_{i=1}^{n} \tau_i(x)$. [/mm] Da der Träger von [mm] $\summe_{i=1}^{n} \tau_i(x)$ [/mm] enthalten ist in $U$, ist somit [mm] $g|_{X \backslash U} [/mm] =1$ und [mm] $g|_V=0$ [/mm] wie gewünscht.
Damit gilt für $h:=f$ dann, $f=gh$, da $g$ nur außerhalb des Trägers von $f$ nicht identisch $1$ ist.
Jetzt habe ich noch ein Problem, das mir leider gerade erst auffiel. Die so konstruierte Funktion ist ja nicht mal mehr stetig. Wie kann ich den Übergangsbereich zwischen dem Rand von U und dem Rand von V nun noch glätten? Die obigen Definition von [mm] $\tau_i$ [/mm] darf nur innnerhalb von $V$ über den Quotienten geschehen... Ich bin am verzweifeln.
Vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße,
Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 17.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt habe ich noch ein Problem, das mir leider gerade erst
> auffiel. Die so konstruierte Funktion ist ja nicht mal mehr
> stetig. Wie kann ich den Übergangsbereich zwischen dem
> Rand von U und dem Rand von V nun noch glätten? Die obigen
> Definition von [mm]\tau_i[/mm] darf nur innnerhalb von [mm]V[/mm] über den
> Quotienten geschehen... Ich bin am verzweifeln.
Da du genügend Platz lässt für deine Karten U, musst du die einzelnen, der Karte untergeordneten [m]\tau[/m] so wählen, dass sie gegen Aussen hin 0 sind - dann setzt du die Funktion nach außen mit 0 fort. Ich sehe gerade dein Problem nicht wirklich - für V und in der Nähe kontrollierst du mittels KArten deine Funktion genau, nach Aussen hin setzt du sie durch 0 fort.
SEcki
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