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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 23.05.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Sei [mm] $\phi:[a,b]\to\mathbb{R},\ [/mm] a<b$, differenzierbar und $k$ eine Konstante so, dass [mm] $\phi'(x)\leq k\phi(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in[a,b]$. [/mm]
Zeigen Sie: [mm] $\phi(x)\leq\phi(a)e^{k(x-a)}$, [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] [a,b]$ |
Hi,
ich rechne schon eine Weile an der Aufgabe herum, die auf unserem Hausaufgabenblatt nur ziemlich wenig Punkte gibt, also nicht so aufwendig sein kann. Bisher bin ich allerdings noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen, weil ich nicht weiß, wie ich die Exponentialfunktion ins Spiel bringen kann. (Hats vielleicht etwas mit [mm] $y'=y\Rightarrow y=ce^x$ [/mm] zu tun?)
Danke für die Hilfe,
nbt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Fr 23.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bestimme doch erstmal die Lösung für die Gleichheit, danach ist es nur eine kurze Betrachtung.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Sa 24.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\phi:[a,b]\to\mathbb{R},\ a
> eine Konstante so, dass [mm]\phi'(x)\leq k\phi(x)[/mm] für alle
> [mm]x\in[a,b][/mm].
> Zeigen Sie: [mm]\phi(x)\leq\phi(a)e^{k(x-a)}[/mm], für alle [mm]x\in [a,b][/mm]
>
> Hi,
>
> ich rechne schon eine Weile an der Aufgabe herum, die auf
> unserem Hausaufgabenblatt nur ziemlich wenig Punkte gibt,
> also nicht so aufwendig sein kann. Bisher bin ich
> allerdings noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen,
> weil ich nicht weiß, wie ich die Exponentialfunktion ins
> Spiel bringen kann. (Hats vielleicht etwas mit
> [mm]y'=y\Rightarrow y=ce^x[/mm] zu tun?)
Setze [mm] f(x):=\bruch{\phi(x)}{e^{k(x-a)}} [/mm] und zeige: f ist auf [a,b] monoton fallend.
FRED
>
> Danke für die Hilfe,
> nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Mo 26.05.2014 | | Autor: | nbt |
Danke FRED, habs rausbekommen:
[mm] $f(x):=\frac{\phi(x)}{\exp(k(x-a))}$ [/mm] ist monoton fallend für alle [mm] $x\in[a,b]$, [/mm] denn
[mm] $f'(x)=\frac{\exp(k(x-a))\phi'(x)-\phi(x)k\exp(k(x-a))}{\exp(2k(x-a))}\leq\frac{\phi(x)k\exp(k(x-a))-\phi(x)k\exp(k(x-a))}{\exp(2k(x-a))}=0$
[/mm]
VG,
nbt
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