Diff'barkeit und konkave Fkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
laut Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) (Wikipedia, 1. Punkt) gilt folgende Aussage:
Eine differenzierbare Funktion $f$ ist auf einem Intervall $I$ konkav genau dann, wenn ihre Ableitung $f'$ monoton fallend auf diesem Intervall ist.
Lässt sich diese Aussage nun auf Funktionen erweitern, die Lebesgue-fast überall diff'bar sind und wenn ja, wie zeigt man dies?
Grüße
Die_Suedkurve
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Di 25.07.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist "Lebesgue-fast überall diff'bar " meinst du einfach bis auf isolierte Punkte?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:59 Mi 26.07.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> was ist "Lebesgue-fast überall diff'bar " meinst du
> einfach bis auf isolierte Punkte?
Hallo Leduart,
nein, das ist damit nicht gemeint, sondern:
$f:I [mm] \to \IR$ [/mm] ist "Lebesgue-fast überall diff'bar " [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Lebesgue -Nullmenge N [mm] \subseteq [/mm] I mit: f ist auf I [mm] \setminus [/mm] N differenzierbar.
> Gruß leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mi 26.07.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> laut Wikipedia
> (Wikipedia, 1. Punkt)
> gilt folgende Aussage:
> Eine differenzierbare Funktion [mm]f[/mm] ist auf einem Intervall [mm]I[/mm]
> konkav genau dann, wenn ihre Ableitung [mm]f'[/mm] monoton fallend
> auf diesem Intervall ist.
>
> Lässt sich diese Aussage nun auf Funktionen erweitern, die
> Lebesgue-fast überall diff'bar sind und wenn ja, wie zeigt
> man dies?
Vielleicht hilft Dir das:
Ist $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] konvex (oder konkav), so ist f auf I lokal Lipschitzstetig. Ein Satz von Rademacher sagt nun: f ist auf I fast überall differenzierbar.
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> Grüße
> Die_Suedkurve
>
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> Vielleicht hilft Dir das:
>
> Ist [mm]f:I \to \IR[/mm] konvex (oder konkav), so ist f auf I lokal
> Lipschitzstetig. Ein Satz von Rademacher sagt nun: f ist
> auf I fast überall differenzierbar.
>
>
Hallo fred97,
den Satz habe ich auch schon gefunden.
Ich vermute, man kann zumindest einen Teil der Aussage wie folgt abändern:
Sei $f$ eine Funktion auf einem Intervall $I$, die Lebesgue-fast überall diff'bar ist.
Es gilt:
$f$ konkav auf $I$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert eine monoton fallende Funktion $g$ auf $I$, die bis auf eine Lebesgue-Nullmenge mit $f'$ übereinstimmt.
Wie gesagt, ist dies nur eine Vermutung meinerseits. Macht das Sinn?
Grüße
Die_Suedkurve
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 03.08.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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