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Diff'gleichung 2 Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diff'gleichung 2 Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Mi 28.05.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Diff’gleichungen:

a) x''-13x'+42x=0

b) x''-4x'+5x=0

c) 3x''+39x=18x'

d) x''= [mm] -w_0^2 [/mm] x, [mm] w_0>0 [/mm] fix



a) x''-13x'+42x=0

[mm] \Rightarrow [/mm]  

[mm] \lambda^2-13\lambda+42=0 [/mm]

[mm] \lambda_1=7 [/mm]
[mm] \lambda_2=6 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] x(t)=C_1*e^{7*t}+C_2*e^{6t} [/mm]

b) x''-4x'+5x=0

[mm] \lambda^2-4\lambda+5=0 [/mm]

[mm] \lambda_1=2+i [/mm]
[mm] \lambda_2=2-i [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] x(t)=e^{2t}*(C_1*sin(t)+C_2*cos(-t)) [/mm]

ich bitte um Korrektur

EDIT: ist das nur bei mir so oder wird euch die Syntax auch nicht vernünftig angezeigt

        
Bezug
Diff'gleichung 2 Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Do 29.05.2014
Autor: leduart

Hallo
auch bei mir wird es nicht richtig angezeigt, mit der Maus drüber konnte ich es lesen, alles richtig, nur statt cos(-t) wprde ich cis(t) scjreiben, ist aber dasselbe
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Diff'gleichung 2 Ordnung: aufg. d)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Do 29.05.2014
Autor: arbeitsamt

d) x''= [mm] -w_0^2 [/mm] x, [mm] w_0>0 [/mm] fix

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \lambda^2=-w_0^2 [/mm]

[mm] \lambda_1=-iw_0 [/mm]

[mm] \lambda_2=iw_0 [/mm]


[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] x(t)=e^0(C_1*sin(-W_0*t)+C_2*cos(W_0*t) [/mm]

ist das richtig? ich bin mir nicht sicher ob ich das negative [mm] \lambda [/mm] bei sin oder cos setzen soll



Bezug
                
Bezug
Diff'gleichung 2 Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 29.05.2014
Autor: Herby

Hi,

> d) x''= [mm]-w_0^2[/mm] x, [mm]w_0>0[/mm] fix

>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]\lambda^2=-w_0^2[/mm]

>

> [mm]\lambda_1=-iw_0[/mm]

>

> [mm]\lambda_2=iw_0[/mm]

>
>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]x(t)=e^0(C_1*sin(-W_0*t)+C_2*cos(W_0*t)[/mm]

>

> ist das richtig? ich bin mir nicht sicher ob ich das
> negative [mm]\lambda[/mm] bei sin oder cos setzen soll

a) da [mm] e^0=1 [/mm] ist, kannst du das auch weglassen (du hast ja damit eine ungedämpfte Schwingung)

b) da du mit den beiden Konstanten [mm] C_0, C_1\in\IR [/mm] arbeitest, ist das Vorzeichen bei sin oder cos irrelevant

[mm] x(t)=C_0*cos(\omega*t)+C_1*\sin(\omega*t) [/mm]

Grüße
Herby

Bezug
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