Diff’gleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Sa 17.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | bestimmen Sie zunächst alle Lösungen folgender Diff`gleichungen, lösen Sie dann die angegebenen AWP und geben Sie jeweils ein maximales Existenzintervall an:
a) [mm] x`=\bruch{x}{t^3-3t^2+2t} [/mm] , [mm] x(\bruch{3}{2})=3
[/mm]
b) [mm] (t^2-1)x`=x^2-4x+3 [/mm] , [mm] x(0)=\bruch{45}{43} [/mm] |
a) [mm] x'=\bruch{x}{t^3-3t^2+2t}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}= \integral{ \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt}
[/mm]
partialbruchzerlegung für [mm] \integral{ \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}=\bruch{A}{x-0}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
1=A(x-1)(x-2)+B(x-0)(x-2)+C(x-0)(x-1)
[mm] A=C=\bruch{1}{2}
[/mm]
B = -1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{x-0} dx}+|-\integral{\bruch{1}{x-1} dx}|+\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{x-2} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}ln|x|+ln|x-1|+\bruch{1}{2}ln|x-2|
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}= \integral{ \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt}
[/mm]
[mm] ln|x|=\bruch{1}{2}ln|x|+ln|x-1|+\bruch{1}{2}ln|x-2|
[/mm]
stimmt alle soweit? was heißt eig. AWP?
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Hallo needmath,
> bestimmen Sie zunächst alle Lösungen folgender
> Diff'gleichungen, lösen Sie dann die angegebenen AWP und
> geben Sie jeweils ein maximales Existenzintervall an:
>
> a) [mm]x'=\bruch{x}{t^3-3t^2+2t}[/mm] , [mm]x(\bruch{3}{2})=3[/mm]
>
> b) [mm](t^2-1)x'=x^2-4x+3[/mm] , [mm]x(0)=\bruch{45}{43}[/mm]
> a) [mm]x'=\bruch{x}{t^3-3t^2+2t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x}dx[/mm] = [mm]\bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x} dx}= \integral{ \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt}[/mm]
>
> partialbruchzerlegung für [mm]\integral{ \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{t^3-3t^2+2t}=\bruch{A}{x-0}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-2}[/mm]
>
Hier hast Du auf der rechten Seite x statt t verwendet.
> [mm]\gdw[/mm]
>
> 1=A(x-1)(x-2)+B(x-0)(x-2)+C(x-0)(x-1)
>
> [mm]A=C=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> B = -1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{x-0} dx}+|-\integral{\bruch{1}{x-1} dx}|+\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{x-2} dx}[/mm]
>
Hier muss es dann lauten:
[mm]\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\blue{t}-0} d\blue{t}}-\integral{\bruch{1}{\blue{t}-1} d\blue{t}}+\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\blue{t}-2} d\blue{t}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}ln|x|+ln|x-1|+\bruch{1}{2}ln|x-2|[/mm]
>
Ebenso hier:
[mm]=\bruch{1}{2}ln|\blue{t}|+ln|\blue{t}-1|+\bruch{1}{2}ln|\blue{t}-2|[/mm]
Ausserdem fehlt hier die Integrationskonstante C, die Du brauchst,
um die spezielle Lösung des AWP (Anfangswetrtproblem) zu bestiimmen.
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x} dx}= \integral{ \bruch{1}{t^3-3t^2+2t}dt}[/mm]
>
> [mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|x|+ln|x-1|+\bruch{1}{2}ln|x-2|[/mm]
>
Hier muss es dann so lauten:
[mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|\blue{t}|+ln|\blue{t}-1|+\bruch{1}{2}ln|\blue{t}-2|+\red{C}[/mm]
> stimmt alle soweit? was heißt eig. AWP?
AWP = Anfangswertproblem.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 So 18.05.2014 | | Autor: | needmath |
> Hier muss es dann so lauten:
>
> [mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|\blue{t}|+ln|\blue{t}-1|+\bruch{1}{2}ln|\blue{t}-2|+\red{C}[/mm]
[mm] ln|x|=\bruch{1}{2}ln|\blue{t}|+ln|\blue{t}-1|+\bruch{1}{2}ln|\blue{t}-2|+\red{C}
[/mm]
x [mm] =x(t)=\wurzel{t}+t-1+\wurzel{t-2}+e^C
[/mm]
[mm] x(\bruch{3}{2})=3
[/mm]
[mm] 3=\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{3}{2}-1 +\wurzel{\bruch{3}{2}-2}+e^C
[/mm]
[mm] 3=\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{3}{2}-1+\bruch{1}{2}*i+e^C
[/mm]
[mm] ln(3-(\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{3}{2}-1+\bruch{1}{2}*i)) [/mm] =C
kann ich C nicht etwas genauer bestimmen?
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Hallo needmath,
> > Hier muss es dann so lauten:
> >
> >
> [mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|\blue{t}|+ln|\blue{t}-1|+\bruch{1}{2}ln|\blue{t}-2|+\red{C}[/mm]
>
>
> [mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|\blue{t}|+ln|\blue{t}-1|+\bruch{1}{2}ln|\blue{t}-2|+\red{C}[/mm]
>
Sorry, mein Fehler.
Korrekterweise muss es hier so lauten:
[mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|t|\blue{-}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t-2|+C[/mm]
> x [mm]=x(t)=\wurzel{t}+t-1+\wurzel{t-2}+e^C[/mm]
>
Diese Umformung falsch.
Nach den Logarithmusgesetzen muss es doch so lauten:
[mm]x\left(t\right)=\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}*e^{C}[/mm]
> [mm]x(\bruch{3}{2})=3[/mm]
>
> [mm]3=\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{3}{2}-1 +\wurzel{\bruch{3}{2}-2}+e^C[/mm]
>
> [mm]3=\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{3}{2}-1+\bruch{1}{2}*i+e^C[/mm]
>
> [mm]ln(3-(\wurzel{\bruch{3}{2}}+\bruch{3}{2}-1+\bruch{1}{2}*i))[/mm]
> =C
>
> kann ich C nicht etwas genauer bestimmen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 18.05.2014 | | Autor: | needmath |
> Nach den Logarithmusgesetzen muss es doch so lauten:
>
> [mm]x\left(t\right)=\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}*e^{C}[/mm]
>
wieso wird [mm] e^C [/mm] multipliziert?
[mm] ln|x|=\bruch{1}{2}ln|t|\blue{-}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t-2|+C
[/mm]
[mm] ln|x|=ln|\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}| [/mm] +C
x = [mm] \bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}} [/mm] + [mm] e^C
[/mm]
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Hallo needmath,
> > Nach den Logarithmusgesetzen muss es doch so lauten:
> >
> >
> [mm]x\left(t\right)=\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}*e^{C}[/mm]
> >
>
>
> wieso wird [mm]e^C[/mm] multipliziert?
>
Weil die Konstante C addiert wird.
Daher wird aus einer Summe ein Produkt.
Siehe auch Logarithmusgesetzen.
> [mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|t|\blue{-}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t-2|+C[/mm]
>
> [mm]ln|x|=ln|\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}|[/mm]
> +C
>
> x =
> [mm]\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}[/mm] +
> [mm]e^C[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 18.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ich versteh das nicht. die konstante C ist kein Logarithmus
[mm] ln|x|=\bruch{1}{2}ln|t|\blue{-}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t-2|+C
[/mm]
[mm] ln|x|=ln|\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}|+C
[/mm]
wenn ich jetzt hier auf beiden seiten die e funktion anwende, verstehe ich nicht wieso [mm] e^C [/mm] multipliziert wird
ich weiß das ln(a)+ln(b) = ln(a*b), aber die konstante C hat ja kein logarithmus
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Hallo needmath,
> hi,
>
> ich versteh das nicht. die konstante C ist kein
> Logarithmus
>
>
> [mm]ln|x|=\bruch{1}{2}ln|t|\blue{-}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t-2|+C[/mm]
>
> [mm]ln|x|=ln|\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}|+C[/mm]
>
> wenn ich jetzt hier auf beiden seiten die e funktion
> anwende, verstehe ich nicht wieso [mm]e^C[/mm] multipliziert wird
>
Ganz einfach, auf der rechten Seite steht dann:
[mm]e^{ln|\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}|+C}[/mm]
Was gleichbedeutend ist, mit:
[mm]e^{ln|\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}}*e^{C}[/mm]
> ich weiß das ln(a)+ln(b) = ln(a*b), aber die konstante C
> hat ja kein logarithmus
Das muss ja auch nicht sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 18.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
aso ich habe für jeden summanden die e-funktion angewendet
[mm] x\left(t\right)=\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}*e^{C}
[/mm]
ich muss hier nochmal nachfragen. wieso setzt man hier einfach den ausdruck unter der wurzel als betrag? ich weiß das ein ausdruck unter der wurzel negativ ist, aber ändere ich mit dem betrag nicht die gleichung?
[mm] 3=\wurzel{6}*\bruch{1}{2}*e^{C}
[/mm]
[mm] C=ln(\bruch{6}{\wurzel{6}})
[/mm]
muss ich jetzt das existenzintervall für x(t) bestimmen? auf was muss man da genau achten?
t darf nicht 1 sein, da man sonst durch 0 teilen würde. alle anderen zahlen sind meines wissens nach erlaubt
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Hallo needmath,
> hi,
>
> aso ich habe für jeden summanden die e-funktion
> angewendet
>
> [mm]x\left(t\right)=\bruch{\wurzel{\vmat{t}}*\wurzel{\vmat{t-2}}}{\vmat{t-1}}*e^{C}[/mm]
>
> ich muss hier nochmal nachfragen. wieso setzt man hier
> einfach den ausdruck unter der wurzel als betrag? ich weiß
> das ein ausdruck unter der wurzel negativ ist, aber ändere
> ich mit dem betrag nicht die gleichung?
>
Nein.
Beispiel: [mm]\ln\left(\vmat{t}\right)[/mm]
Für t>0 ist dies gleichbedutend mit
[mm]\ln\left(t\right)[/mm]
Die Ableitung hiervon: [mm]\bruch{\left(t\right)'}{t}=\bruch{1}{t}[/mm]
Für t<0 ist dies gleichbedutend mit
[mm]\ln\left(-t\right)[/mm]
Die Ableitung hiervon: [mm]\bruch{\left(-t\right)'}{-t}=\bruch{-1}{-t}=\bruch{1}{t}[/mm]
Beide Ableitungen sind also gleich.
> [mm]3=\wurzel{6}*\bruch{1}{2}*e^{C}[/mm]
>
> [mm]C=ln(\bruch{6}{\wurzel{6}})[/mm]
>
Da hab ich etwas anderes.
> muss ich jetzt das existenzintervall für x(t) bestimmen?
> auf was muss man da genau achten?
>
> t darf nicht 1 sein, da man sonst durch 0 teilen würde.
> alle anderen zahlen sind meines wissens nach erlaubt
Da hast Du im Prinzip recht.
Betrachtest Du aber die GLeichung vor der Integration,
dann darf t auch nicht 0 bzw. 2 sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 18.05.2014 | | Autor: | needmath |
b) [mm] (t^2-1)x'=x^2-4x+3[/mm] [/mm] , [mm] x(0)=\bruch{45}{43}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2-4x+1} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{t^2-1} dt}
[/mm]
ich hätte hier beide Integrale mit der Partialbruchzerlegung integriert? gibt es eine möglichkeit der weniger aufwendig ist?
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Hallo needmath,
> b) [mm](t^2-1)x'=x^2-4x+3[/mm][/mm] , [mm]x(0)=\bruch{45}{43}[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x^2-4x+1} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{t^2-1} dt}[/mm]
>
> ich hätte hier beide Integrale mit der
> Partialbruchzerlegung integriert? gibt es eine möglichkeit
> der weniger aufwendig ist?
Wähle beiderseits jeweils eine geeignete Substitution.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mo 19.05.2014 | | Autor: | needmath |
ich habe jetzt keine geeignete substitution gefunden und einfach eine Partialbruchzerlegung gemacht. trotzdem würde mich interessieren, welche substitution geeignet wäre ?
b) [mm] (t^2-1)x'=x^2-4x+3 [/mm] , [mm] x(0)=\bruch{45}{43}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2-4x+1} dx}=\integral{\bruch{1}{t^2-1} dt}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{x^2-4x+1}=\bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
1=A(x-1)+B(x-3)
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] B=\bruch{-1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{x-3} dx}+|\bruch{-1}{2}\integral{\bruch{1}{x-1} dx}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ln|x-3|+\bruch{1}{2}ln|x-1|+C
[/mm]
nochmal Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{t^2-1}=\bruch{A}{t-1}+\bruch{B}{t+1}
[/mm]
1=A(t+1)+B(t-1)
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] B=\bruch{-1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{t-1} dt}+|\bruch{-1}{2}\integral{\bruch{1}{t+1} dt}|=\bruch{1}{2}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t+1|+C
[/mm]
darasu folgt:
[mm] \bruch{1}{2}ln|x-3|+\bruch{1}{2}ln|x-1|=\bruch{1}{2}ln|t-1|+\bruch{1}{2}ln|t+1|+C
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] ln|\wurzel{x-3}*\wurzel{x-1}|=ln|\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}|+C
[/mm]
[mm] \wurzel{x-3}*\wurzel{x-1}=\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}*e^C
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2-4x+3}=\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}*e^C
[/mm]
[mm] x^2-4x+3=(\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}*e^C)^2
[/mm]
soweit alles richtig? ich weiß jetzt nicht wie ich x bestimmen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 19.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
entweder so stehen lassen, zuerst [mm] #e^c [/mm] bestimmen, dann mit pq formel die 2 Zwige der Lösungsfunktion.
Gruß leduart.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 19.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
> zuerst [mm]#e^c[/mm] bestimmen
ich habe C bestimmt
[mm] x^2-4x+3=(\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}*e^C)^2
[/mm]
c = ln [mm] (\bruch{\wurzel{x^2-4x+3}}{\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}})
[/mm]
> dann mit pq formel die 2 Zwige der Lösungsfunktion.
wie genau wende ich die pq-formel bei foglender gleichung an? kann ich die rechte seite ignorieren?
[mm] x^2-4x+3=(\wurzel{t-1} *\wurzel{t+1}*e^C)^2
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 20.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch die Abhängigkeit x(t) also kommt die rechte Seite zu den 3 dazu. die formel wird unschön.
Gruß leduart
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