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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 So 04.01.2009 | | Autor: | Hanz |
Huhu,
hätte nochmal Fragen zu zwei Aufgaben:
1) Die reellwertige Funktion f sei in einer Umgebung von [mm] t_0 \in \IR [/mm] differenzierbar und in [mm] t_0 [/mm] sogar zweimal differenzierbar. Beweisen Sie:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(t_0+h)-2f(t_0)+f(t_0-h)}{h²}=f''(t_0).
[/mm]
Hinweis: L'Hospital.
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2) Sie wollen Sylvester um 24 Uhr Champagner trinken, allerdings fällt ihnen erst um 23:20 Uhr ein, dass die Flasche seit langem in der 21°C warmen Küche steht. Jetzt aber schnell ins -6°C kalte Eisfach damit! Um 23:30 Uhr messen Sie die Temperatur des Champagners der mit 16°C noch viel zu warm ist. Wird er bis 24 Uhr eine akzeptable Trinktemperatur von (ca. 6°C) erreichen?
Hinweis: Nach NEWTON gilt für die Temperaturdifferenz [mm] T(t)-T_U [/mm] die Beziehung [mm] (T(t)-T_U)' [/mm] = [mm] c(T(t)-T_U). [/mm] Hier bezeichnet T(t) die Temperatur des Champagners zur Zeit t, [mm] T_U [/mm] die konstante Umgebungstemperatur und c ist eine (noch zu bestimmende) Konstante.
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Zu 1):
Um L'Hospital verwenden zu können muss ich ja Ableitungen bilden, wie leite ich aber sowas wie [mm] f(t_0+h) [/mm] (also überhaupt den Zähler) ab?
Und auch wenn ich den Grenzwert bestimmt habe, wie weiss ich das er gleich [mm] f''(t_0) [/mm] ist, ich hab irgendwie gar kein Plan was [mm] f''(t_0) [/mm] ist.
Zu 2):
Hier muss ich bestimmt eine Differentialgleichung benutzen die doch die Form [mm] f(t)=f(t_0)*e^{c(t-t_0)} [/mm] hat.
T(t) ist dich 21°C
[mm] T_U [/mm] ist -6°C
Aber wie bestimme ich die Konstante c?
Und wie ich das ganze sinnvoll zusammenfüge, damit ich berechnen kann, ob es gegen 24 Uhr 6°C erreicht oder nicht weiss ich auch net....
Danke schonmal,
Hanz
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> Huhu,
> hätte nochmal Fragen zu zwei Aufgaben:
>
> 1) Die reellwertige Funktion f sei in einer Umgebung von
> [mm]t_0 \in \IR[/mm] differenzierbar und in [mm]t_0[/mm] sogar zweimal
> differenzierbar. Beweisen Sie:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(t_0+h)-2f(t_0)+f(t_0-h)}{h²}=f''(t_0).[/mm]
>
> Hinweis: L'Hospital.
>
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> Zu 1):
> Um L'Hospital verwenden zu können muss ich ja Ableitungen
> bilden, wie leite ich aber sowas wie [mm]f(t_0+h)[/mm] (also
> überhaupt den Zähler) ab?
Ist dir klar das du nach h den Zähler und Nenner getrennt ableiten musst? Nun es gilt: [mm] \frac{d}{dh}f(t_0+h) [/mm] = [mm] f'(t_0+h)\cdot\red{1}. [/mm] Wobei 1 die innere Ableitung ist, ich habe sie extra hingeschrieben, da die innere Ableitung bei [mm] f(t_0-h) [/mm] von Bedeutung ist.
Den Nenner abzuleiten sollte kein Problem sein. Wenn du nun die GW Betrachtung für [mm] h\to [/mm] 0 machst, kommst du erneut auf den unbekannten Ausdruck [mm] \frac{0}{0}, [/mm] also musst du nochmal mit l'Hospital dran.
> Und auch wenn ich den Grenzwert bestimmt habe, wie weiss
> ich das er gleich [mm]f''(t_0)[/mm] ist,
Wenn du alles richtig gemacht hast, so wird der Bruch auf der linken Seite der Gleichung zu [mm] f''(t_0)
[/mm]
> ich hab irgendwie gar kein
> Plan was [mm]f''(t_0)[/mm] ist.
>
Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle [mm] t_0. [/mm] Genaueres kann man darüber nicht aussagen.
Gruß Patrick
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo ist das [mm] $T_U$ [/mm] hin? Es muss heißen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
