Diffbarkeit im mehrdim < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, wir haben gesagt, dass
f ist differenzierbar in y gdw. A [mm] \in [/mm] L(X,Y), sodass [mm] \limes_{x\rightarrow\y} [/mm]
[mm] \bruch{f(x)-f(y)-A(x-y)}{||x-y||}
[/mm]
Ich verstehe die Definiton nicht. Was ist dieses A??
Gibt es zu der Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen auch so eine Erklärung wie im eindimensionaklen(Sekante wird zur Tangente)
Kann mir jemand bitte diese Definiton erläutern.
Lg
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Hallo Schmetterling,
A ist eine Funktion und ist eben genau die Ableitung von f(x).
Im eindimensionalen konnte man die Ableitung immer recht schnell berechnen. Da hieß es sofort f'(x)=...
Hier ist es anders. Daher benutzt man dann auch partielle Ableitungen. f(x) ist in [mm] x_0 [/mm] genau dann differenzierbar, wenn die partielle Ableitungen existieren und in einer Umgebung von [mm] x_0 [/mm] stetig sind. (Lax gesagt!)
Eine Anschauung ist sicherlich schwer, mir ist zumindest keine bekannt. Man kann auch schlecht sagen, dass es z.B. eine Ebene ist. Denn wie soll man sich bildlich eine Ebene im z.B. 10-dimensionalen vorstellen?
Soviel zunächst.
Wenn du mehr Informationen benötigst, dann einfach noch einmal eine Frage anhängen, hier gibt es gute Mathematiker, die alles sicherlich auch bisschen mathematischer aufziehen können, sodenn du das magst.
Grüße
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Hallo,
danke dir. Also, wenn A doch die erste Ableitung von f ist, dann muss man doch nicht mehr schauen ob f diffbar ist, dann weiß man das doch oder habe ich da jetzt was falsch verstanden?
Gruß
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Hi noch einmal,
Du musst schauen, ob der Grenzwert überhaupt existiert. Und da müsstest du theoretisch die Ableitung kennen, um sie einzusetzen. Man könnte so also quasi überprüfen, ob A überhaupt die Ableitung einer Funktion f(x) ist. Existiert dann der Grenzwert, so weiß man, dass f diffbar in [mm] x_0 [/mm] ist.
Erinnere dich mal an die Definition der Konvergenz einer Folge.
[mm] |a_n-a|<\epsilon. [/mm] a sei der Grenzwert der Folge [mm] a_n
[/mm]
Hier ist es nahezu ähnlich. Wenn ich ein a gefunden habe, dann kann ich überprüfen ob a der Grenzwert ist, und ob damit also [mm] a_n [/mm] konvergent ist. Aber man muss a eben erst einmal wissen oder erraten.
Bei der Ableitung ist das ein bisschen schwieriger. Da ist das erraten nicht gerade einfach ;) Um die Ableitung zu bestimmen nutzt man dann eben den ganzen Spaß mit den partiellen Ableitungen. (Stichwort dazu: Jacobimatrix)
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Ah, jetzt habe ich es verstanden. Super Beispiel mit der Folgenkonvergenz.
Nur um 100 Prozent sicher zu sein, wiederhole ich das mal wie ich es verstanden habe: A(x-y) ist die Ableitung von f an der Stelle x-y.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe
Lg
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Hallo, ich habe noch eine Frage dazu:
Um Diffbarkeit nachzuweisen, zeige ich ja dass die funktion partiell diffbar ist und stetig. Was ist den, wenn ich aus irgendeinem Grund nichts über die Stetigkeit sagen kann. Wie könnte ich dann voran gehen?
Lg
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Hallo,
> Hallo, ich habe noch eine Frage dazu:
> Um Diffbarkeit nachzuweisen, zeige ich ja dass die
> funktion partiell diffbar ist und stetig. Was ist den, wenn
> ich aus irgendeinem Grund nichts über die Stetigkeit sagen
> kann.
Der grund ist dann wohl Unwissenheit, oder?
Ich würde sagen: Gib uns ein Beispiel. Über die Stetigkeit wird man schon etwas sagen können.
> Wie könnte ich dann voran gehen?
>
>
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Schmetterling,
>
> A ist eine Funktion und ist eben genau die Ableitung von
> f(x).
> Im eindimensionalen konnte man die Ableitung immer recht
> schnell berechnen. Da hieß es sofort f'(x)=...
> Hier ist es anders. Daher benutzt man dann auch partielle
> Ableitungen.
> f(x) ist in [mm]x_0[/mm] genau dann differenzierbar,
> wenn die partielle Ableitungen existieren und in einer
> Umgebung von [mm]x_0[/mm] stetig sind. (Lax gesagt!)
Das stimmt nicht. Es gilt nur [mm] \Leftarrow
[/mm]
FRED
>
> Eine Anschauung ist sicherlich schwer, mir ist zumindest
> keine bekannt. Man kann auch schlecht sagen, dass es z.B.
> eine Ebene ist. Denn wie soll man sich bildlich eine Ebene
> im z.B. 10-dimensionalen vorstellen?
>
> Soviel zunächst.
> Wenn du mehr Informationen benötigst, dann einfach noch
> einmal eine Frage anhängen, hier gibt es gute
> Mathematiker, die alles sicherlich auch bisschen
> mathematischer aufziehen können, sodenn du das magst.
>
> Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, wir haben gesagt, dass
> f ist differenzierbar in y gdw. A [mm]\in[/mm] L(X,Y), sodass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\y}[/mm]
> [mm]\bruch{f(x)-f(y)-A(x-y)}{||x-y||}[/mm]
Das hast Du nicht korrekt aufgeschrieben !
f ist differenzierbar in y gdw. es ex. A [mm]\in[/mm] L(X,Y), sodass
(*) [mm] \limes_{x\rightarrow y}[/mm] [mm]\bruch{f(x)-f(y)-A(x-y)}{||x-y||}[/mm]=0.
Ich nehme an, dass X und Y normierte Räume sind und f auf einer offenen Teilmenge D von X def. ist (und y [mm] \in [/mm] D).
L(X,Y) ist die Menge der stetigen linearen Abb. von X nach Y.
Gilt (*) so heißt A die Ableitung von f in y, also A=f'(y).
Zur Motivation sei [mm] X=Y=\IR.
[/mm]
f ist differenzierbar in y [mm] \gdw [/mm]
(**) es ex. ein A [mm] \in \IR [/mm] mit: [mm] \limes_{x\rightarrow y}[/mm] [mm][mm] \bruch{f(x)-f(y)}{x-y}=A.
[/mm]
Im meherdim. ist (**) nicht brauchbar, denn durch Vektoren kann man nicht dividieren.
(**) ist aber gleichbedeutend mit:
es ex. ein A [mm] \in \IR [/mm] mit: [mm] \limes_{x\rightarrow y}[/mm] [mm][mm] \bruch{f(x)-f(y)-A(x-y)}{|x-y|}=0
[/mm]
Das lässt sich im mehrdim. problemlos formulieren, wenn man den Betrag durch die Norm ersetzt.
FRED
> Ich verstehe die Definiton nicht. Was ist dieses A??
> Gibt es zu der Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen
> auch so eine Erklärung wie im eindimensionaklen(Sekante
> wird zur Tangente)
> Kann mir jemand bitte diese Definiton erläutern.
>
> Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 15.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es zu der Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen
> auch so eine Erklärung wie im eindimensionaklen(Sekante
> wird zur Tangente)
Ja, gibt es.
Erstmal zum Thema Tangente. Die Tangente einer eindimensionalen Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] in einem Punkt [mm] $(x_0, f(x_0))$ [/mm] ist die affin-linare Funktion, welche durch [mm] $(x_0, f(x_0))$ [/mm] geht und $f$ in diesem Punkt moeglichst gut approximiert. Deren Steigung ist [mm] $f'(x_0)$, [/mm] und die Funktionsgleichung der Tangente ist $g(x) := [mm] f'(x_0) [/mm] (x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Das wichtige Stichwort hier ist die Approximation durch eine affin-lineare Funktion, also durch eine affine Funktion -- eine lineare Abbildung -- plus eine Verschiebung (der affine Teil)!
Im mehrdimensionalen geht das genauso: ist die Funktion $f : [mm] \IR^n \to \IR^m$ [/mm] im Punkt [mm] $x_0 \in \IR^n$ [/mm] total differenzierbar mit Ableitung $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] (die Matrix ist die Darstellungsmatrix der linearen Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] A x$ von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^m$). [/mm] Dann ist $g(x) := A (x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$ [/mm] -- das ist eine Funktion von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^m$ [/mm] die Tangente in [mm] $(x_0, f(x_0)) \in \IR^{n + m}$ [/mm] (auch ein Grund warum man sich das normalerweise nicht versucht vorzustellen :) ).
Mit der Sekante kann man ebenfalls arbeiten, allerdings ist die nicht ganz so einfach definierbar wie im eindimensionalen. Eine Sekante ist ebenfalls eine affin-lineare Funktion, die durch [mm] $(x_0, f(x_0))$ [/mm] geht. Allerdings ist sie normalerweise nicht durch zwei Punkte [mm] $x_0, x_1 \in \IR^n$ [/mm] definiert, sondern erst durch $n + 1$ Punkte [mm] $x_0, \dots, x_n$ [/mm] -- solange diese nicht einen affinen Unterraum von Dimension $< n$ aufspannen. Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_0, x_2 [/mm] - [mm] x_0, \dots, x_n [/mm] - [mm] x_0$ [/mm] linear unabhaengig sind. In diesem Fall gibt es genau eine affin-lineare Funktion $g : [mm] \IR^n \to \IR^m$ [/mm] mit [mm] $f(x_i) [/mm] = [mm] g(x_i)$ [/mm] fuer $i = 0, [mm] \dots, [/mm] n$. Das ist dann die Sekante an $f$ in den Punkten [mm] $x_0, \dots, x_n$.
[/mm]
Wenn du jetzt die [mm] $x_i$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] gehen laesst, und zwar so dass die [mm] $x_i$ [/mm] zwischendurch immer noch einen $n$-dimensionalen affinen Unterraum aufspannen, dann veraendert sich diese Sekante zur Tangente hin! Genauso wie im eindimensionalen Fall (dort ist die Bedingung, dass [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] einen 1-dimensionalen affinen Unterraum aufspannen, gerade [mm] $x_0 \neq x_1$). [/mm] (Vorausgesetzt natuerlich, dass die Funktion total diffbar in [mm] $x_0$ [/mm] ist, ansonsten gibt's die Tangente gar nicht.)
Es ist sogar so: die Funktion $f$ ist in [mm] $x_0$ [/mm] genau dann total differenzierbar, wenn bei jeder zulaessige Folge von [mm] $x_1, \dots, x_n$, [/mm] die alle gegen [mm] $x_0$ [/mm] gehen und dabei trotzdem mit [mm] $x_0$ [/mm] einen $n$-dimensionalen affinen Unterraum erzeugen, die zugehoerige Sekante gegen die gleiche lineare Funktion geht. Dieser Grenzwert der linaren Funktion ist die Tangente und deren linearer Anteil (bzw. dessen Matrixrepraesentation) ist genau die totale Ableitung.
Lange Rede, kurzer Sinn: im mehrdimensionalen kann man sich das ganze genauso vorstellen wie im eindimensionalen. Nur das das mit der Sekante etwas komplizierter ist und man sich das ganze eigentlich nur fuer $n + m [mm] \le [/mm] 3$ vorstellen kann, was nur im Fall $n + m = 3$ nicht gleich dem eindimensionalen Fall ist :)
LG Felix
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