Diffbarkeit impliziert Stetig < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Di 23.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich versuche gerade den Beweis zu verstehen, weshalb Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert.
Anschaulich ist mir das klar, aber der Beweis dazu nicht.
Ich habe zB folgenden Link dazu:
![[]](/images/popup.gif) http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~hulek/Skripten/AnaA/Kapitel5.pdf
Auf Seite 2 beginnt der Beweis mit:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(a+h)-f(a)= ...
Mir ist nicht klar, wieso ich genau so anfange, bei dem Beweis.
Kann mir da jemand schnell auf die Sprünge helfen ?
Liebe Grüße,
Ferolei
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Hallo Ferolei!
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche gerade den Beweis zu verstehen, weshalb
> Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert.
> Anschaulich ist mir das klar, aber der Beweis dazu nicht.
> Ich habe zB folgenden Link dazu:
>
>
> http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~hulek/Skripten/AnaA/Kapitel5.pdf
>
>
> Auf Seite 2 beginnt der Beweis mit:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(a+h)-f(a)= ...
>
> Mir ist nicht klar, wieso ich genau so anfange, bei dem
> Beweis.
Du möchtest zeigen, dass die Funktion f stetig ist. Eine mögliche Definition von Stetigkeit ist:
[mm] $f:D\to\IR$ [/mm] ist in [mm] x_{0} [/mm] stetig genau dann, wenn jede Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}\subset [/mm] D$ mit [mm] $x_{n}\to x_{0}, (n\to\infty)$ [/mm] gilt:
[mm] $f(x_{n}) \to f_(x_{0})$ $(n\to\infty)$
[/mm]
Bei diesem Beweis wird das gezeigt. Allerdings in einer etwas geänderten Form: Man zeigt:
[mm] $f(x_{n}) [/mm] - [mm] f_(x_{0}) \to [/mm] 0$ [mm] $(n\to\infty)$,
[/mm]
aber ich denke, es ist einleuchtend, dass das dasselbe wie oben ist.
Bei dem Beweis ist [mm] x_{0} [/mm] = a und [mm] $x_{n} [/mm] = a + [mm] h_{n}$.
[/mm]
(Exakterweise steht in der Definition von Differenzierbarkeit nämlich nicht, dass
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
[/mm]
existiert, sondern dass für jede beliebige Folge [mm] $(h_{n})_{n\in\IN}\subset [/mm] D$ mit [mm] $h_{n}\to [/mm] 0$ [mm] ($n\to\infty$) [/mm] gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{f(a+h_{n})-f(a)}{h_{n}}$
[/mm]
existiert und nimmt für jede Folge denselben Wert an.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 23.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo Stefan,
>
> (Exakterweise steht in der Definition von
> Differenzierbarkeit nämlich nicht, dass
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
>
> existiert, sondern dass für jede beliebige Folge
> [mm](h_{n})_{n\in\IN}\subset D[/mm] mit [mm]h_{n}\to 0[/mm] ([mm]n\to\infty[/mm])
> gilt:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(a+h_{n})-f(a)}{h_{n}}[/mm]
>
Gut, das ist mir mit der Folgendefinition einleuchtend, aber wieso steht dann in dem Beweis nicht mehr die Division durch h? Mir kommt das so vor, als würde da was fehlen. Dieser Ausdruck
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(a+h) - f(a) ist mir deshalb nicht klar, weil da doch das "druch" h fehlt ???
> existiert und nimmt für jede Folge denselben Wert an.
>
> Grüße,
> Stefan
lG, Ferolei
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Hallo!
> Hallo Stefan,
>
>
> >
> > (Exakterweise steht in der Definition von
> > Differenzierbarkeit nämlich nicht, dass
> >
> > [mm]\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
> >
> > existiert, sondern dass für jede beliebige Folge
> > [mm](h_{n})_{n\in\IN}\subset D[/mm] mit [mm]h_{n}\to 0[/mm] ([mm]n\to\infty[/mm])
> > gilt:
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(a+h_{n})-f(a)}{h_{n}}[/mm]
> >
>
> Gut, das ist mir mit der Folgendefinition einleuchtend,
> aber wieso steht dann in dem Beweis nicht mehr die Division
> durch h? Mir kommt das so vor, als würde da was fehlen.
> Dieser Ausdruck
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(a+h) - f(a) ist mir deshalb nicht
> klar, weil da doch das "druch" h fehlt ???
Nein, das fehlt nicht!
Du willst doch zeigen, dass
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(a+h) - f(a) = 0$
ist, weil dann hast du gezeigt, dass [mm] $\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h) [/mm] = f(a)$, also dass die Funktion f in a stetig ist.
Um das zu zeigen, benutzt du, dass f in a differenzierbar ist, also f'(a) = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] existiert und nicht "unendlich" ist.
Um das zu benutzen, wird im Laufe des Beweises [mm] \frac{h}{h} [/mm] als Faktor 1 eingefügt.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 23.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo!
>
> > Hallo Stefan,
> >
> >
> > >
> > > (Exakterweise steht in der Definition von
> > > Differenzierbarkeit nämlich nicht, dass
> > >
> > > [mm]\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
> > >
> > > existiert, sondern dass für jede beliebige Folge
> > > [mm](h_{n})_{n\in\IN}\subset D[/mm] mit [mm]h_{n}\to 0[/mm] ([mm]n\to\infty[/mm])
> > > gilt:
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(a+h_{n})-f(a)}{h_{n}}[/mm]
> > >
> >
> > Gut, das ist mir mit der Folgendefinition einleuchtend,
> > aber wieso steht dann in dem Beweis nicht mehr die Division
> > durch h? Mir kommt das so vor, als würde da was fehlen.
> > Dieser Ausdruck
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(a+h) - f(a) ist mir deshalb nicht
> > klar, weil da doch das "druch" h fehlt ???
>
>
> Nein, das fehlt nicht!
> Du willst doch zeigen, dass
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} f(a+h) - f(a) = 0[/mm]
>
> ist, weil dann hast du gezeigt, dass [mm]\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h) = f(a)[/mm],
> also dass die Funktion f in a stetig ist.
Ich verstehe nicht, wieso man statt f(x) überhaupt anfängt, dass f(a+h) zu nennen. Wo ist denn da der Zweck bei?
Wieso ist das denn überhaupt das gleiche ?
> Um das zu zeigen, benutzt du, dass f in a differenzierbar
> ist, also f'(a) = [mm]\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
> existiert und nicht "unendlich" ist.
>
> Um das zu benutzen, wird im Laufe des Beweises [mm]\frac{h}{h}[/mm]
> als Faktor 1 eingefügt.
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Ferolei,
> Ich verstehe nicht, wieso man statt f(x) überhaupt
> anfängt, dass f(a+h) zu nennen. Wo ist denn da der Zweck
> bei?
> Wieso ist das denn überhaupt das gleiche ?
Das ist doch völlig egal, ob die Variable nun "a" heißt oder "x" oder [mm] "x_{0}". [/mm] Fakt ist: Du hast als Voraussetzung: f ist in a differenzierbar, und willst zeigen: f ist in a stetig.
Ich zeige dir jetzt mal den "exakten" Beweis. Gefällt dir der besser?:
Es sei f eine auf $D$ differenzierbare Funktion. Sei [mm] $a\in [/mm] D$ beliebig.
Wir haben zu zeigen: f ist in a stetig, das heißt, für jede beliebige Folge [mm] (x_{n}), [/mm] die gegen a konvergiert, gilt auch: [mm] $f(x_{n})\to [/mm] f(a)$ [mm] (n\to\infty).
[/mm]
Sei [mm] $(x_{n})\subset [/mm] D$ eine beliebige Folge mit [mm] $x_{n}\to [/mm] a$ für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Wir können dann auch schreiben:
[mm] $x_{n} [/mm] = a + [mm] h_{n}$,
[/mm]
wobei [mm] (h_{n}) [/mm] eine Nullfolge ist. (Das ist einleuchtend, oder?).
Nun gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) [/mm] - f(a)$
$= [mm] \lim_{n\to\infty}f(a [/mm] + [mm] h_{n}) [/mm] - f(a)$
$ = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(a + h_{n}) - f(a)}{h_{n}}*h_{n}$
[/mm]
Nun benutzen wir die Voraussetzung, dass f differenzierbar ist und somit der Limes [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(a + h_{n}) - f(a)}{h_{n}} [/mm] existiert und endlich ist:
$ = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{f(a + h_{n}) - f(a)}{h_{n}}*\lim_{n\to\infty}h_{n}$
[/mm]
$ = f'(a)*0$
$= 0$.
Damit folgt insbesondere [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) [/mm] = f(a)$, also ist f in a stetig.
Was in deinem Beweis jetzt als einziges anders ist, ist, dass man die Kurzschreibweise [mm] $h\to [/mm] 0$ verwendet statt auf die Folgenschreibweise zurückzugreifen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Di 23.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
Dies gefällt mir auf jeden Fall schon besser ! Danke...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Di 23.02.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo Ferolei,
>
> > Ich verstehe nicht, wieso man statt f(x) überhaupt
> > anfängt, dass f(a+h) zu nennen. Wo ist denn da der Zweck
> > bei?
> > Wieso ist das denn überhaupt das gleiche ?
>
> Das ist doch völlig egal, ob die Variable nun "a" heißt
> oder "x" oder [mm]"x_{0}".[/mm] Fakt ist: Du hast als Voraussetzung:
> f ist in a differenzierbar, und willst zeigen: f ist in a
> stetig.
>
> Ich zeige dir jetzt mal den "exakten" Beweis. Gefällt dir
> der besser?:
> Es sei f eine auf [mm]D[/mm] differenzierbare Funktion. Sei [mm]a\in D[/mm]
> beliebig.
> Wir haben zu zeigen: f ist in a stetig, das heißt, für
> jede beliebige Folge [mm](x_{n}),[/mm] die gegen a konvergiert, gilt
> auch: [mm]f(x_{n})\to f(a)[/mm] [mm](n\to\infty).[/mm]
>
> Sei [mm](x_{n})\subset D[/mm] eine beliebige Folge mit [mm]x_{n}\to a[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm].
> Wir können dann auch schreiben:
>
> [mm]x_{n} = a + h_{n}[/mm],
>
> wobei [mm](h_{n})[/mm] eine Nullfolge ist. (Das ist einleuchtend,
> oder?).
> Nun gilt:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) - f(a)[/mm]
>
> [mm]= \lim_{n\to\infty}f(a + h_{n}) - f(a)[/mm]
>
> [mm]= \lim_{n\to\infty}\frac{f(a + h_{n}) - f(a)}{h_{n}}*h_{n}[/mm]
>
> Nun benutzen wir die Voraussetzung, dass f differenzierbar
> ist und somit der Limes [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{f(a + h_{n}) - f(a)}{h_{n}}[/mm]
> existiert und endlich ist:
>
> [mm]= \lim_{n\to\infty}\frac{f(a + h_{n}) - f(a)}{h_{n}}*\lim_{n\to\infty}h_{n}[/mm]
>
> [mm]= f'(a)*0[/mm]
>
> [mm]= 0[/mm].
>
> Damit folgt insbesondere [mm]\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) = f(a)[/mm],
> also ist f in a differenzierbar.
Hier meinst du wohl f ist in a stetig ?!
>
> Was in deinem Beweis jetzt als einziges anders ist, ist,
> dass man die Kurzschreibweise [mm]h\to 0[/mm] verwendet statt auf
> die Folgenschreibweise zurückzugreifen.
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > Damit folgt insbesondere [mm]\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) = f(a)[/mm],
> > also ist f in a differenzierbar.
>
> Hier meinst du wohl f ist in a stetig ?!
Ja, genau, da habe ich mich verschrieben.
Gut aufgepasst 
Ich werde es auch im Ausgangspost korrigieren.
Grüße,
Stefan
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